Действие внешних сил на твердое тело приводит к возникновению в точках его объема напряжений и деформаций. При этом напряженное состояние в точке, связь между напряжениями на различных площадках, проходящих через эту точку, определяются уравнениями статики и не зависят от физических свойств материала. Деформированное состояние, связь между перемещениями и деформациями устанавливаются с привлечением геометрических или кинематических соображений и также не зависят от свойств материала. Для того чтобы установить связь между напряжениями и деформациями, необходимо учитывать реальные свойства материала и условия нагружения. Математические модели, описывающие соотношения между напряжениями и деформациями, разрабатываются на основе экспериментальных данных. Эти модели должны с достаточной степенью точности отражать реальные свойства материалов и условия нагружения.
Наиболее распространенными для конструкционных материалов являются модели упругости и пластичности. Упругость это свойство тела изменять форму и размеры под действием внешних нагрузок и восстанавливать исходную конфигурацию при снятии нагрузок. Математически свойство упругости выражается в установлении взаимно однозначной функциональной зависимости между.компонентами тензора напряжений и тензора деформаций. Свойство упругости отражает не только свойства материалов, но и условия нагружения. Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями.
При высоких уровнях нагружения, когда в теле возникают значительные деформации, материал частично теряет упругие свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и форма полностью не восстанавливаются, а при полном снятии внешних нагрузок фиксируются остаточные деформации. В этом случае зависимость между напряжениями и деформациями перестает быть однозначной. Это свойство материала называется пластичностью. Накапливаемые в процессе пластического деформирования остаточные деформации называются пластическими.
Высокий уровень нагружения может вызвать разрушение, т. е. разделение тела на части. Твердые тела, выполненные из различных материалов, разрушаются при разной величине деформации. Разрушение носит хрупкий характер при малых деформациях и происходит, как правило, без заметных пластических деформаций. Такое разрушение характерно для чугуна, легированных сталей, бетона, стекла, керамики и некоторых других конструкционных материалов. Для малоуглеродистых сталей, цветных металлов, пластмасс характерен пластический тип разрушения при наличии значительных остаточных деформаций. Однако подразделение материалов по характеру разрушения на хрупкие и пластичные весьма условно, оно обычно относится к некоторым стандартным условиям эксплуатации. Один и тот же материал может вести себя в зависимости от условий (температура, характер нагружены я, технология изготовления и др.) как хрупкий или как пластичный. Например, пластичные при нормальной температуре материалы разрушаются как хрупкие при низких температурах. Поэтому правильнее говорить не о хрупких и пластичных материалах, а о хрупком или пластическом состоянии материала.
Пусть материал является линейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1), так что тензор напряжений имеет вид
При таком нагружении происходит увеличение размеров в направлении оси Ох, характеризуемое линейной деформацией , которая пропорциональна величине напряжения
Рис.1. Одноосное напряженное состояние
Это соотношение является математической записью закона Гука, устанавливающего пропорциональную зависимость между напряжением и соответствующей линейной деформацией при одноосном напряженном состоянии. Коэффициент пропорциональности E называется модулем продольной упругости или модулем Юнга. Он имеет размерность напряжений.
Наряду с увеличением размеров в направлении действия; же напряжения происходит уменьшение размеров в двух ортогональных направлениях (рис. 1). Соответствующие деформации обозначим через и , причем эти деформации отрицательны при положительных и пропорциональны :
При одновременном действии напряжений по трем ортогональным осям, когда отсутствуют касательные напряжения, для линейно-упругого материала справедлив принцип суперпозиции (наложения решений):
С учетом формул (1 4) получим
|
Касательные напряжения вызывают угловые деформации, причем при малых деформациях они не влияют на изменение линейных размеров, и следовательно, на линейные деформации. Поэтому они справедливы также в случае произвольного напряженного состояния и выражают так называемый обобщенный закон Гука.
Угловая деформация обусловлена касательным напряжением , а деформации и соответственно напряжениями и . Между соответствующими касательными напряжениями и угловыми деформациями для линейно-упругого изотропного тела существуют пропорциональные зависимости
которые выражают закон Гука при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига. Существенно, что нормальное напряжение не влияет на угловые деформации, так как при этом изменяются только линейные размеры отрезков, а не углы между ними (рис. 1).
Линейная зависимость существует также между средним напряжением (2.18), пропорциональным первому инварианту тензора напряжений, и объемной деформацией (2.32), совпадающей с первым инвариантом тензора деформаций:
Рис.2. Плоская деформация сдвига
Соответствующий коэффициент пропорциональности К называется объемным модулем упругости.
В формулы (1 7) входят упругие характеристики материала Е, , G и К, определяющие его упругие свойства. Однако эти характеристики не являются независимыми. Для изотропного материала независимыми упругими характеристиками являются две, в качестве которых обычно выбираются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона . Чтобы выразить модуль сдвига G через Е и , рассмотрим плоскую деформацию сдвига под действием касательных напряжений (рис. 2). Для упрощения выкладок используем квадратный элемент со стороной а. Вычислим главные напряжения , . Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом к исходным площадкам. Из рис. 2 найдем связь между линейной деформацией в направлении действия напряжения и угловой деформацией . Большая диагональ ромба, характеризующая деформацию , равна
Для малых деформаций
С учетом этих соотношений
До деформации эта диагональ имела размер . Тогда будем иметь
Из обобщенного закона Гука (5) получим
Сравнение полученной формулы с записью закона Гука при сдвиге (6) дает
В итоге получим
Сравнивая это выражение с объемным законом Гука (7), приходим к результату
Механические характеристики Е, , G и К находятся после обработки экспериментальных данных испытаний образцов на различные виды нагрузок. Из физического смысла все эти характеристики не могут быть отрицательными. Кроме того, из последнего выражения следует, что коэффициент Пуассона для изотропного материала не превышает значения 1/2. Таким образом, получаем следующие ограничения для упругих постоянных изотропного материала:
Предельное значение приводит к предельному значению , что соответствует несжимаемому материалу ( при ). В заключение выразим из соотношений упругости (5) напряжения через деформации. Запишем первое из соотношений (5) в виде
С использованием равенства (9) будем иметь
Аналогичные соотношения можно вывести для и . В результате получим
|
Здесь использовано соотношение (8) для модуля сдвига. Кроме того, введено обозначение
ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ
Рассмотрим вначале элементарный объем dV=dxdydz
в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1). Мысленно закрепим площадку х=0
(рис. 3). На противоположную площадку действует сила .
Эта сила совершает работу на перемещении .
При увеличении напряжения от нулевого уровня до значения
соответствующая деформация в силу закона Гука также увеличивается от нуля до значения ,
а работа пропорциональна заштрихованной на рис. 4 площади: 
. Если пренебречь кинетической энергией и потерями, связанными с тепловыми, электромагнитными и другими явлениями, то в силу закона сохранения энергии совершаемая работа перейдет в потенциальную энергию,
накапливаемую в процессе деформирования: .
Величина Ф=dU / dV
называется удельной потенциальной энергией деформации,
имеющей смысл потенциальной энергии, накопленной в единице объема тела. В случае одноосного напряженного состояния
Силовые факторы и деформации, возникающие в брусе, тесно связаны между собой. Эта связь между нагрузкой и деформацией была сформулирована впервые Робертом Гуком в 1678 году. При растяжении или сжатии бруса закон Гука выражает прямую пропорциональность между напряжением и относительной деформацией, где Е модуль продольной упругости материала или модуль Юнга, который имеет размерность [МПа]:
Коэффициент пропорциональности Е характеризует сопротивляемость материала бруса продольным деформациям. Величина модуля упругости устанавливается экспериментально. Значения Е для различных материалов приведены в таблице 7.1.
Для однородных и изотропных материалов Е – const, тогда и напряжение тоже величина постоянная.
Как показано ранее, при растяжении (сжатии) нормальные напряжения определяются из соотношения
а относительная деформация – по формуле (7.1). Подставляя значения величин из формул (7.5) и (7.1) в выражение закона Гука (7.4), получаем
отсюда находим– удлинение (укорочение), получаемое брусом.
Величина ЕA , стоящая в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении (сжатии). Если брус состоит из нескольких участков, то полная его деформация определится как алгебраическая сумма деформаций отдельных i -x участков:
Для определения деформации бруса в каждом его сечении строят эпюры продольных деформаций (эпюра).
Т а б л и ц а 7.2 – Значения модулей упругости для различных материалов
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Прикладная механика
Белорусский государственный университет транспорта.. кафедра техническая физика и теоретическая механика..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Законом Гука обычно называют линейные соотношения между компонентами деформаций и компонентами напряжений.
Возьмем элементарный прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными координатным осям, нагруженный нормальным напряжением σ х , равномерно распределенным по двум противоположным граням (рис. 1). При этом σ y = σ z = τ х y = τ х z = τ yz = 0.
Вплоть до достижения предела пропорциональности относительное удлинение дается формулой
где Е — модуль упругости при растяжении. Для стали Е = 2*10 5 МПа , поэтому деформации очень малы и измеряются в процентах или в 1*10 5 (в тензометрических приборах, измеряющих деформации).
Удлинение элемента в направлении оси х сопровождается его сужением в поперечном направлении, определяемом компонентами деформаций
где μ - константа, называемая коэффициентом поперечного сжатия или коэффициентом Пуассона. Для стали μ обычно принимается равным 0,25-0,3.
Если рассматриваемый элемент нагружен одновременно нормальными напряжениями σ x , σ y , σ z , равномерно распределенными по его граням, то добавляются деформации
Производя наложение компонент деформации, вызванных каждым из трех напряжений, получим соотношения
Эти соотношения подтверждаются многочисленными экспериментами. Примененный метод наложения или суперпозиции для отыскания полных деформаций и напряжений, вызванных несколькими силами, является законным, пока деформации и напряжения малы и линейно зависят от приложенных сил. В таких случаях мы пренебрегаем малыми изменениями размеров деформируемого тела и малыми перемещениями точек приложения внешних сил и основываем наши вычисления на начальных размерах и начальной форме тела.
Следует отметить, что из малости перемещений еще не следует линейность соотношений между силами и деформациями. Так, например, в сжатом силами Q стержне, нагруженном дополнительно поперечной силой Р , даже при малом прогибе δ возникает дополнительный момент М = Qδ , который делает задачу нелинейной. В таких случаях полные прогибы не являются линейными функциями усилий и не могут быть получены с помощью простого наложения (суперпозиции).
Экспериментально установлено, что если касательные напряжения действуют по всем граням элемента, то искажение соответствующего угла зависит только от соответствующих компонентов касательного напряжения.
Константа G называется модулем упругости при сдвиге или модулем сдвига.
Общий случай деформации элемента от действия на него трех нормальных и трех касательных компонентов напряжений можно получить с помощью наложения: на три линейные деформации, определяемые выражениями (5.2а), накладываются три деформации сдвига, определяемые соотношениями (5.2б). Уравнения (5.2а) и (5.2б) определяют связь между компонентами деформаций и напряжений и называются обобщенным законом Гука . Покажем теперь, что модуль сдвига G выражается через модуль упругости при растяжении Е и коэффициент Пуассона μ . Для этого рассмотрим частный случай, когда σ х = σ , σ y = -σ и σ z = 0.
Вырежем элемент abcd плоскостями, параллельными оси z и наклоненными под углом 45° к осям х и у (рис. 3). Как следует из условий равновесия элемента 0bс , нормальные напряжения σ v на всех гранях элемента abcd равны нулю, а касательные напряжения равны
Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом . Из уравнений (5.2а) следует, что
то есть удлинение горизонтального элемента 0c равно укорочению вертикального элемента 0b : ε y = -ε x .
Угол между гранями аb и bc изменяется, и соответствующую величину деформации сдвига γ можно найти из треугольника 0bс :
Отсюда следует, что
Растяжение (сжатие) стержня возникает от действия внешних сил, направленных вдоль его оси. Растяжение (сжатие) характеризуется: абсолютным удлинением (укорочением) Δl ;
относительной продольной деформацией ε= Δl/ l
относительной поперечной деформацией ε`= Δa / a = Δb / b
При упругих деформациях междуσ и ε существует зависимость, описываемая законом Гука, ε=σ/E, где Е – модуль упругости I рода (модуль Юнга), Па.Физический смысл модуля Юнга: Модуль упругости численно равен напряжению, при котором абсолютное удлинение стержня равно его первоначальной длине , т.е. Е=σ при ε=1.
14. Механические свойства конструкционных материалов. Диаграмма растяжения.
К механическим свойствам материалов относятся прочностные показатели предел прочности σ в, предел текучести σ т, и предел выносливости σ -1 ; характеристика жесткости модуль упругости Е и модуль сдвига G; характеристика сопротивления контактным напряжениям поверхностная твердость НВ, HRC; показатели эластичности относительное удлинение δ и относительное поперечное сужение φ; ударная вязкость а.
Графическое представление зависимости между действующей силой F и удлинением Δl называется диаграммой растяжения (сжатия) образца Δl = f (F ).
Х
арактерные
точки и участки диаграммы:0-1
участок прямолинейной зависимости
между нормальным напряжением и
относительным удлинением, что отражает
закон Гука. Точка
1
соответствует пределу пропорциональности
σ пц =F пц /А 0 ,
где F пц
нагрузка, соответствующая пределу
пропорциональности. Точка
1`
соответствует пределу упругости σ у,
т.е. наибольшему напряжению, при котором
в материале еще нет остаточных деформаций.
В точке
2
диаграммы материал переходит в область
пластичности - наступает явление
текучести материала.
Участок 2-3
параллелен оси абсцисс (площадка
текучести). На
участке 3-4
наблюдается упрочнение материала. В
точке
4
происходит местное сужение образца.
Отношение σ в =F в /А 0
называется
пределом прочности. В точке
5
происходит разрыв образца при разрушающей
нагрузке F разр.
15. Допускаемые напряжения. Расчеты по допускаемым напряжениям.
Напряжения, при которых образец из данного материала разрушается или при которых развиваются значительные пластические деформации, называется предельными. Эти напряжения зависят от свойств материала и вида деформации. Напряжение, величина которого регламентируется техническими условиями, называется допускаемым. Допускаемые напряжения устанавливаются с учетом материала конструкции и изменяемости его механических свойств в процессе эксплуатации, степени ответственности конструкции, точности задания нагрузок, срока службы конструкции, точности расчетов на статическую и динамическую прочность.
Для пластичных материалов допускаемые напряжения [σ] выбирают так, чтобы при любых неточностях расчета или непредвиденных условиях эксплуатации в материале не возникло остаточных деформаций, т.е. [σ] = σ 0,2 /[n] т, где [n] т коэффициент запаса прочности по отношению к σ т.
Для хрупких материалов допускаемые напряжения назначаются из условия, что материал не разрушится. В этом случае [σ] = σ в /[n] в. Таким образом, коэффициент запаса прочности [n] имеет сложную структуру и предназначен для гарантии прочности конструкции от любых случайностей и неточностей, возникающих при проектировании и эксплуатации конструкции.
Устройство динамометров - приборов для определения сил - основано на том, что упругая деформация прямо пропорциональна силе, вызывающей эту деформацию. Примером сказанного служит всем известный пружинный безмен.
Связь между упругими деформациями и внутренними силами в материале впервые была установлена английским ученым Р. Гуком. В настоящее время закон Гука формулируется следующим образом: механическое напряжение в упруго деформированном теле прямо пропорционально относительной деформации этого телах
Величина характеризующая зависимость механического напряжения в материале от рода последнего и от внешних условий, называется модулем упругости. Модуль упругости измеряется механическим напряжением, которое должно возникнуть в материале при относительной упругой деформации, равной единице.
Отметим, что относительная упругая деформация обычно выражается числом, много меньшим единицы. За редким исключением, получить равное единице, практически невозможно, так как материал задолго до этого разрушается. Однако модуль упругости можно найти из опыта как отношение и при малом так как в формуле (11.5) - величина постоянная.
Единицей модуля упругости в СИ является 1 Па. (Докажите это.)
Рассмотрим в качестве примера применение закона Гука к деформации одностороннего растяжения или сжатия. Формула (11.5) для этого случая принимает вид
где Е обозначает модуль упругости для этого вида деформации; его называют модулем Юнга. Модуль Юнга измеряется нормальным напряжением, которое должно возникнуть в материале
при относительной деформации, равной единице, т. е. при увеличении длины образца вдвое Числовое значение модуля Юнга определяют из опытов, проведенных в пределах упругой деформации, и при расчетах берут из таблиц.
Поскольку из (11.6) получаем откуда
Таким образом, абсолютная деформация при продольном растяжении или сжатии прямо пропорциональна действующей на тело силе и длине тела, обратно пропорциональна площади поперечного сечения тела и зависит от рода вещества.
Наибольшее напряжение в материале, после исчезновения которого форма и объем тела восстанавливаются, называется пределом упругости. Формулы (11.5) и (11.7) справедливы, пока не перейден предел упругости. При достижении предела упругости в теле возникают пластические деформации. В этом случае может наступить момент, когда при одной и той же нагрузке деформация начнет возрастать и материал разрушается. Нагрузку, при которой в материале возникает наибольшее возможное механическое напряжение, называют разрушающей.
При постройке машин и сооружений всегда создают запас прочности. Запасом прочности называется величина, показывающая, во сколько раз фактическая максимальная нагрузка в самом напряженном месте конструкции меньше, чем разрушающая нагрузка.
