Каждый электрический заряд окружает электрическое поле. В результате длительных исследований ученые-физики пришли к выводу, что взаимодействие заряженных тел происходит благодаря электрическим полям, их окружающим. Они являются особой формой материи, которая неразрывно связана со всяким электрическим зарядом.
Изучение электрического поля проводят, вводя в него мелкие заряженные тела. Эти тела называют «пробными зарядами». Например, зачастую в роли пробного заряда используют заряженный пробковый шарик.
Начиная с позиции ближе к положительному заряду, тестовый заряд будет испытывать большую силу отталкивания из-за положительного заряда и более слабую силу притяжения от отрицательного заряда. В положении на полпути между положительным и отрицательным зарядами величины сил отталкивания и притяжения одинаковы. Если контрольный заряд находится ближе к отрицательному заряду, сила притяжения будет больше, и сила отталкивания, которую она испытывает из-за более отдаленного положительного заряда, будет слабее.
В каждой точке мы добавляем силы, обусловленные положительным и отрицательным зарядами, чтобы найти результирующую силу на тестовом заряде. Результирующая линия электрического поля, которая является касательной к результирующим векторам силы, будет кривой.
При внесении пробного заряда в электрическое поле тела, имеющего положительный заряд, лёгкий положительно заряженный пробковый шарик под его действием будет отклоняться тем больше, чем ближе мы будем его подносить к телу.
При перемещении пробного заряда в электрическом поле произвольного заряженного тела можно с легкостью обнаружить, что сила, действующая на него, будет различна в разных местах.
Электрическое поле вокруг двух подобных зарядов
Теперь мы можем легко заполнить другие полевые линии, используя те же идеи. Электрические силовые линии выглядят так. Для случая двух положительных зарядов и одинаковой величины вещи выглядят немного иначе. Мы не можем просто поворачивать стрелки вокруг того, как мы это делали раньше. В этом случае положительный тестовый заряд отталкивается обоими зарядами. Электрические поля вокруг каждого из зарядов изолированы.
Теперь мы можем посмотреть на полученное электрическое поле, когда заряды расположены рядом друг с другом. Начнем с того, что мы положим положительный тестовый заряд непосредственно между двумя зарядами. Мы можем нарисовать силы, воздействующие на тестовый заряд, и определить результирующую силу.
Так, при помещении последовательно в одну точку поля различных по величине пробных положительных зарядов q1, q2, q3, …, qn можно обнаружить, что силы, действующие на них, F1, F2, F3, …, Fn различны, однако отношение силы к размеру определенного заряда для такой точки поля неизменно:
F1/q1 = F2/q2 = F3/q3 = … = Fn/qn.
Если подобным образом будем исследовать разные точки поля, то получим следующее заключение: для каждой отдельно взятой точки в электрическом поле отношение величины силы, действующей на пробный заряд, к величине такого заряда неизменно и независимо от величины пробного заряда.
Сила на тестовом заряде из-за заряда равна по величине, но противоположна по отношению к тому, что является силой, прикладываемой к испытательному заряду. Поэтому они отменяют друг друга и нет результирующей силы. Это означает, что электрическое поле непосредственно между зарядами отменяется посередине. В этом случае тестовый заряд не будет иметь силы.
Теперь рассмотрим положительный тестовый заряд, расположенный вблизи воображаемой линии, соединяющей центры зарядов. Снова мы можем направить силы, действующие на тестовый заряд, из-за и и суммировать их, чтобы найти результирующую силу. направление линии электрического поля в каждой точке. Электрическая линия поля является касательной к результирующим силам.
Из этого следует, что величина этого отношения характеризует электрическое поле в произвольной его точке. Величина, которая измеряется отношением силы, воздействующей на положительный заряд, расположенный в этой точке поля, к размеру заряда и является напряженностью электрического поля:
Она, как это видно из её определения, равна силе, которая действует на единицу позитивного заряда, помещенного в определенную точку поля.
Если мы поместим тестовый заряд в одни и те же относительные положения, но ниже воображаемой линии, соединяющей центры зарядов, на приведенной ниже диаграмме мы увидим, что результирующие силы являются отражениями сил выше. Поэтому линия электрического поля является лишь отражением линии поля выше.
Так как имеет тот же заряд, что и силы в тех же относительных точках, близких к ним, будут иметь одинаковые величины, но противоположные направления, т.е. они также являются отражениями. Поэтому мы можем легко провести следующие две линии поля следующим образом.
За единицу напряженности электрополя принимают действующего на заряд размером в одну электростатическую единицу с силой в одну дину. Такую единицу называют абсолютной электростатической единицей напряженности.
Чтобы определить напряженность электрического поля любого точечного заряда q в произвольной точке поля А данного заряда, отстоящей от него на расстоянии r1, необходимо поместить в эту произвольную точку пробный заряд q1 и вычислить силу Fa, которая действует на него (для вакуума).
Работая через ряд возможных исходных точек для тестового заряда, мы можем показать, что электрическое поле может быть представлено. Мы можем использовать тот факт, что направление силы меняется на противоположную для тестового заряда, если вы меняете знак заряда, который влияет на него. Если мы перейдем к случаю, когда оба заряда отрицательны, получим следующий результат.
Сборы разных величин
Когда величины не равны, больший заряд будет влиять на направление линий поля больше, чем если бы они были равны. Например, здесь приведена конфигурация, в которой положительный заряд намного больше отрицательного заряда. Вы можете видеть, что полевые линии больше похожи на полевой изолированный заряд на больших расстояниях, чем в предыдущем примере. Это связано с тем, что больший заряд вызывает более сильное поле и, следовательно, делает больший относительный вклад в силу на тестовом заряде, чем меньший заряд.
Fa = (q1q)/r²₁.
Если мы возьмем отношение величины силы, которая влияет на заряд, к его величине q1, то можно произвести расчет напряженности электрополя в точке А:
Кроме того, можно найти напряженность в произвольной точке В; она будет равна:
Поэтому напряженность электрического поля точечного заряда в определенной точке поля (в вакууме) будет прямо пропорциональна размеру данного заряда и обратно пропорциональна квадрату дистанции между этим зарядом и точкой.
В предыдущих разделах мы изучили, как мы можем представлять электрические поля вокруг заряда или комбинации зарядов с помощью линий электрического поля. В этом представлении мы видим, что напряженность электрического поля представлена тем, насколько близко расположены линии поля. В дополнение к чертежам электрического поля мы также хотели бы иметь возможность количественно определить, насколько сильным является электрическое поле и каково его направление в любой точке пространства.
Небольшой контрольный заряд, установленный вблизи заряда, будет испытывать силу из-за окружающего электрического поля. Величина силы описывается законом Кулона и зависит от величины заряда и расстояния от тестового заряда. Чем ближе заряд заряда к заряду, тем больше будет его сила. Кроме того, при точки ближе к заряду, тем сильнее его электрическое поле. Мы определяем электрическое поле в точке как силу на единицу заряда.
Напряженность поля выступает в роли его силовой характеристики. Зная ее в произвольной точке поля Е, легко рассчитать и силу F, воздействующую на заряд q в данной точке:
Поля - Направление напряженности в каждой определенной точке поля будет совмещаться с направлением силы, воздействующей на положительный заряд, помещенный в точку.
Величину электрического поля в точке можно количественно определить как силу на единицу заряда. Мы можем записать это как. Где - кулоновская сила, создаваемая зарядом на тестовом заряде. Так как сила является вектором и является скаляром, то электрическое поле также является вектором; он имеет величину и направление в каждой точке.
Учитывая определение электрического поля выше и подставив выражение для закона Кулона для: мы можем видеть, что электрическое поле зависит только от заряда, а не от величины испытательного заряда. Если известно электрическое поле, то электростатическая сила на любом заряде, помещенном в поле, просто получается путем перестройки уравнения определения.
При образовании поля несколькими зарядами: q1 и q2 - напряженность Е в любой точке А данного поля будет равняться геометрической сумме напряженности Е1 и Е2, создаваемых в данной точке отдельно зарядами q1 и q2.
Напряженность электрического поля в произвольной точке можно отобразить графически с помощью направленного отрезка, который исходит из этой точки, аналогично изображению силы и прочих векторных величин.
Рассчитайте напряженность электрического поля 30 см от заряда 5 нК. Нам нужно вычислить электрическое поле на расстоянии от заданного заряда. Нам дается величина заряда и расстояние от заряда. Какова напряженность электрического поля в точке, составляющей 20 см и 50 см от? Нам нужно вычислить электрическое поле на расстоянии от двух заданных зарядов.
Нам дается величина зарядов и расстояния от зарядов. Определите, как подойти к проблеме. Нам нужно вычислить электрическое поле для каждого заряда отдельно, а затем добавить их для определения результирующего поля. Нам нужно добавить два электрических поля, потому что они находятся в одном направлении. Поле находится вдали от.
ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ
ГЛАВА 9. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
Напряженность поля
Экспериментально было обнаружено, что частицы могут испытывать взаимодействие гораздо более сильное, чем гравитационное. Для объяснения этого к массе m частицы добавили еще одну характеристику частицы - электрический заряд q , измеряемый в кулонах (Кл).
Пример 3: Двумерные электрические поля
Два точечных заряда образуют прямоугольный треугольник с точкой в начале координат. Каково чистое электрическое поле, измеренное от двух зарядов, если они расположены так, как показано? Нам даны все заряды и расстояния. Расстояния между ними указаны в метрах. Решить его методом прямоугольной координации.
- Рассчитайте напряженность электрического поля на расстоянии 2 м от него.
- Решение.
Четыре заряда помещены в верхнюю часть квадрата со стороной 10 см, а значения электрических зарядов. Вычислите интенсивность, направление и направление электрического поля в центре квадрата и электрический потенциал, создаваемый четырьмя зарядами всегда в центре.
Назовем заряженную частицу, т. е. частицу, имеющую заряд q , точечным зарядом q (в отличие от заряженного тела, размерами которого нельзя пренебречь в условиях данной задачи). Каждый неподвижный заряд точечный заряд q создает в окружающем пространстве электрическое поле (точнее электростатическое поле ). На любой другой точечный заряд в этом поле будет действовать электрическая сила :
Четыре электрических заряда, представленных проблемой, расположены в фиксированной конфигурации и устойчивы в четырех вершинах квадрата. Каждый электрический заряд генерирует электрическое поле, линии электропередачи которого выходят из положительных нагрузок, в то время как они входят только для единственного положительного заряда.
Мы представляем эту ситуацию в центре площади. Поля, генерируемые каждым зарядом, имеют то же направление, что и диагонали квадрата. Поля, генерируемые зарядами 1 и 3, имеют один и тот же заголовок. Начнем с вычисления интенсивности отдельных полей каждого заряда, напомнив определение поля.
где вектор называют напряженностью электрического поля в точке, где находится заряд . Сила может быть направлена или к заряду q или от него. В связи с этим ввели два вида заряда: положительный и отрицательный. Разноименные заряды притягиваются, а одноименные - отталкиваются друг от друга (рис. 31.1).
Добавим теперь векторы электрического поля. Как видно из рисунка, векторы и находятся в одном и том же направлении, но с противоположным направлением, следовательно. Поэтому, как это было возможно, два поля, подготовленные главами 2 и 4, ускользают между собой.
Поля, произведенные вместо зарядов 1 и 3, добавляются. Электрический потенциал, приводящий к центру, поскольку он является скалярной величиной, не имеющей направления и направления, будет равен алгебраической сумме четырех потенциалов, порождаемых каждым зарядом.
Потенциал - это скалярная величина, выражающая способность определенного физического поля воздействовать на материальные точки или заряды, помещенные в них. Значение потенциала относительное, оно относится к определенной точке с выбранным нулевым потенциалом.
Напряженность определяют как силу, действующую на единичный положительный точечный заряд в данной точке поля:
где > 0. Из выражения (31.2) видно, что размерность есть ньютон на кулон (Н/Кл).
Опыт показывает, что подвижный точечный заряд q создает на расстоянии r от него напряженность
(31.3)
Таким образом, консервативное физическое поле может характеризоваться его скалярным потенциалом в каждой своей точке, которая имеет численное значение в каждой точке. С введением потенциала векторный массив может быть описан скалярной переменной. Оба вектора, как и электрический полюс, перпендикулярны эквипотенциальной линии. Потенциальная или позиционная энергия - это энергия, которую каждое тело обладает в потенциальном поле определенной силы.
Величина изменения потенциальной энергии не имеет значения, как система исходила из начального состояния в конечное состояние только по величине начальной и конечной потенциальной энергии. Отсюда следует, что значение полученного изменения потенциальной энергии по круговой диаграмме равно нулю.
где ε 0 - электрическая постоянная (ε 0 = 8,85·10 –12 Кл 2 /(Н·м 2)), - единичный вектор радиус-вектора , проведенного от центра поля, помещенного в начало координат, в котором расположен точечный заряд q , до интересующей нас точки поля.
Из выражения (31.1) видно, что электрическая сила , действующая на заряд , направлена так же, как и вектор , если заряд положительный, и противоположно вектору , если заряд отрицательный (рис. 31.2).
Потенциальная энергия, а также потенциальная, относительная и относится к выбранной точке с нулевой потенциальной энергией. Он также может получать как положительные, так и отрицательные значения. В зависимости от типа потенциального поля мы можем теперь различать несколько видов потенциала.
Электрический потенциал представляет собой скалярную величину, описывающую потенциальную энергию единичного заряда в неизменном консервативном электрическом поле. Он определяется как количество энергии, необходимое для переноса заряда из заданной точки в нулевую потенциальную точку. Как точка нулевого потенциала, обычно выбирается поверхность Земли.
Из опыта следует, что напряженность поля системы N неподвижных точечных зарядов
где - напряженность поля в интересующей нас точке, создаваемая i -м точечным зарядом в отсутствие других точечных зарядов. Соотношение (31.4) выражает принцип суперпозиции электрических полей .
Значение электрического потенциала можно вычислить. С биофизической точки зрения электрический потенциал имеет фундаментальное значение как компонент электрохимического потенциала протонов в дыхательной цепи или как компонент потенциала покоящейся мембраны и потенциала действия.
Гравитационный потенциал - это скалярная величина, описывающая потенциальную энергию тела единичным весом в гравитационном поле других тел. Поскольку диапазон гравитационной силы бесконечен, точка нулевого потенциала выбирается на бесконечности, и поэтому значение гравитационного потенциала отрицательно.
Пример 31.1.
Два шарика с массами по 0,3 кг находятся на таком расстоянии, что взаимодействие их зарядов уравновешивается силой гравитационного притяжения. Найти радиусы шаров, если поверхностная плотность заряда шаров 
| Дано: m 1 = m 2 = m =0,3 кг F э = F гр R 1 = R 2 = R | Решение
.
F
э = F
гр.
|
||||
| R – ? |
Ответ: R = 4 см.
Пример 31.2. Точечные заряды q 1 = 2q и q 2 = – q расположены, как показано на рис. 31.4. Расстояние между зарядами равно d . Определить, на каком расстоянии x 1 от заряда q 1 напряженность электрического поля равна нулю.
| Дано: q 1 = 2q q 2 = – q d E(x 1) = 0 | Решение
Рис. 31.3
|
| x 1 – ? |
Согласно принципу суперпозиции электрических полей в точке, где должно выполняться условие
где и - напряженности полей, создаваемых зарядами q 1 и q 2 в этой точке. Очевидно, это условие выполняться не будет вне оси x (векторы и направлены под углом друг к другу), а также на оси x слева от заряда q 1 , где всегда E 1 > E 2 (см. формулу (31.3) и условие задачи). Между зарядами на оси x не может равняться нулю, так как векторы и направлены в одну сторону. Остается предположить, что искомая точка лежит на оси x справа от заряда q 2 (см. рис. 31.3). Расстояние x 1 от заряда q 1 найдем из условия
Сократим на и извлечем корень квадратный из левой и правой частей равенства:
Ответ: x 1 = 3,5 d .
§ 32. Поток вектора
Наглядно поле вектора изображают с помощью линий вектора , которые проводят следующим образом:
1) касательная к ним в каждой точке совпадает с направлением вектора ;
2) число линий, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям (густота линий), равно модулю вектора (рис. 32.1).
Электрическое поле называют однородным , если в каждой точке поля вектор = const. Линии вектора такого поля параллельны и расстояния между ними одинаковы (рис. 32.2).
Рис. 32.1 Рис. 32.2
Линии вектора электростатического поля начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных зарядах.
Возьмем элементарную площадку dS в поле вектора (рис. 32.3). Пусть - единичный вектор нормали к площадке dS , α - угол между векторами и . Тогда число линий вектор , пронизывающих dS , равно
где - вектор, модуль которого равен dS , а направление совпадает с единичным вектором нормали к площадке dS .
Назовем потоком Ф вектора сквозь произвольную поверхность S число линий вектора , пронизывающих эту поверхность. Очевидно,
интегралу по поверхности S от скалярного произведения векторов и . Поток - величина алгебраическая. Знак потока зависит от выбора направления нормали к dS . Для замкнутых поверхностей принято брать внешнюю нормаль.
§ 33. Теорема Гаусса для поля вектора
Теорема . Поток вектора сквозь любую замкнутую поверхность S равен q вн. /ε 0 , где q вн. - алгебраическая сумма зарядов внутри этой поверхности:
(33.1)
где кружок у интеграла означает, что интегрирование проводится по замкнутой поверхности.
Доказательство теоремы . Рассмотрим электрическое поле одного неподвижного точечного заряда q . Пусть q > 0. Мысленно окружим заряд q произвольной замкнутой поверхностью S (рис. 33.1).
Найдем поток d Ф вектора сквозь элемент dS поверхности. Очевидно,
где 
- элементарный телесный (пространственный) угол внутри конуса, опирающегося на dS
, с вершиной в точке расположения заряда q
.
Поток вектора сквозь всю замкнутую поверхность S
где - полный телесный угол. Мы получили
что совпадает с выражением (33.1).
Теперь рассмотрим электрическое поле, создаваемое системой N неподвижных точечных зарядов Мысленно окружим эту систему зарядов произвольной замкнутой поверхностью S . Используя принцип суперпозиции электрических полей, можем написать
где q - алгебраическая сумма N зарядов, что совпадает с выражением (33.1).
Теорема Гаусса позволяет в некоторых случаях очень просто определить напряженность в любой точке электрического поля.
Пример 33.1. Имеем бесконечную равномерно заряженную плоскость с поверхностной плотностью заряда σ. Определить напряженно сть Е x от плоскости.
Проведем через интересующую нас точку гауссову замкнутую поверхность S в виде симметричного относительно плоскости цилиндра так, чтобы точка находилась на основании цилиндра (рис. 32.2). Найдем поток вектора сквозь гауссову поверхность:
где S осн. - площадь основания цилиндра. При интегрировании мы учли, что поток вектора сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю (линии вектора не пронизывают эту поверхность) и для всех точек основания цилиндра α = 0 и Е = const.
Согласно теореме Гаусса
где - заряд плоскости, сосредоточенный внутри цилиндра. Найдем его. По определению, поверхностная плотность заряда
В случае равномерно заряженной плоскости (σ = const) можем написать
(из рис. 33.2 видно, что заряд сосредоточен на части плоскости с площадью S осн.), откуда
(33.4)
Подставляя выражения (33.2) и (33.4) в соотношение (33.3), получаем
Из выражения (33.5) видно, что E не зависит от расстояния x от заряженной плоскости, т. е.
Следовательно, электрическое поле, создаваемое бесконечной равномерно заряженной плоскостью, является однородным.
Пример 33.2. Имеем равномерно заряженную сферу с поверхностной плотностью заряда σ. Радиус сферы R . Определить напряженно сть Е электрического поля на расстоянии r от центра сферы.
(из рис. 33.3 видно, то заряда внутри гауссовой поверхности нет), откуда следует, что
Следовательно, внутри заряженной сферы напряженность Е электрического поля равна нулю.
Теперь определим Е в точке, находящейся вне заряженной сферы (r > R ). Пусть сфера заряжена положительно. Вследствие симметрии вектор Е поля, создаваемого сферой, в интересующей нас точке направлен радиально от центра сферы.
Е = const.
Согласно теореме Гаусса
Из рис. 33.3 видно, что заряженная сфера находится внутри гауссовой поверхности и поэтому заряд q вн. равен заряду q сф. сферы. В случае равномерно заряженной сферы (σ = const) можем записать
(33.8)
Подставляя выражения (33.6) и (33.8) в соотношение (33.7), получаем
Следовательно, напряженность Е поля вне заряженной сферы убывает с расстоянием r . Графически зависимость E (r ) электрического поля равномерно заряженной сферы представлена на рис. 33.4.
Пример 33.3. Имеем равномерно заряженный шар с объемной плотностью заряда ρ. Радиус шара R . Определить напряженно сть Е электрического поля на расстоянии r от центра шара.
При интегрировании мы учли, что для всех точек гауссовой сферы α = 0 и Е = const.
Согласно теореме Гаусса
где - заряд части шара, сосредоточенный внутри гауссовой сферы. Найдем его. По определению, объемная плотность заряда
В случае равномерно заряженного шара (ρ = const) можем написать
где - объем шара внутри гауссовой сферы. Из выражения (33.12) находим
(33.13)
Подставляя выражения (33.10) и (33.13) в соотношение (33.11), получаем
