Теорема гаусса индукции электрического поля. Электрическое смещение. Теорема Гаусса

Диэлектриками называют вещества, которые при обычных условиях практически не проводят электрический ток. Согласно представлениям классической физики в диэлектриках в отличие от проводников нет свободных зарядов – заряженных частиц, которые могли бы прийти под действием электрического поля в упорядоченное движение и образовать электрический ток. К диэлектрикам относятся все газы, если они не подвергаются ионизации, некоторые жидкости (бензол, растительные и синтетические масла) и твердые вещества (фарфор, стекло, парафин, кварц и др.). Удельное электрическое сопротивление диэлектриков ρ ~ Ом·м, тогда как у металлических проводников ρ ~ Ом·м.

Все молекулы диэлектрика электрически нейтральны, т.е. суммарный заряд электронов и атомных ядер, входящих в состав молекулы, равен нулю. Тем не менее, молекулы обладают электрическими свойствами . Приближенно молекулу можно рассматривать как электрический диполь с электрическим моментом где суммарный положительный заряд всех атомных ядер в молекуле; вектор, проведенный из «центра тяжести» электронов в молекуле в «центр тяжести» положительных зарядов атомных ядер.

Чтобы понять, как незаряженный диэлектрик создает электрическое поле, рассмотрим электрические свойства нейтральных атомов и молекул.

Атомы и молекулы состоят из положительно заряженных ядер и отрицательно заряженных электронов. Если рассмотреть простейший атом – атом водорода, то у него положительный заряд сосредоточен в ядре, вокруг которого с большой скоростью вращается электрон (рис. 1.13, а ). Один оборот вокруг ядра он делает за время порядка 10 -15 с. Поэтому, например, за время 10 -9 с электрон успевает совершить миллион оборотов (), т.е. миллион раз побывать в двух любых точках 1 и 2, расположенных симметрично относительно ядра. Следовательно, можно считать, что в среднем по времени центр распределения отрицательного заряда приходится на середину атома, т.е. совпадает с центром

распределения положительного ядра.

Диэлектрик называется неполярным, если в отсутствие внешнего электрического поля центры распределения положительных и отрицательных зарядов в молекулах совпадают () и дипольные моменты равны нулю.

Если поместить неполярный диэлектрик (бензол, парафин, полиэтилен, N 2 , H 2 , O 2 и др.) во внешнее электрическое поле напряженностью , то происходит деформация электронных оболочек атомов и молекул (рис. 1.13, б ): положительные и отрицательные заряды молекул смещаются в противоположные стороны и центры распределения этих зарядов перестают совпадать (). Такие деформированные молекулы можно рассматривать как электрические диполи, оси которых направлены вдоль поля.

Таким образом, неполярная молекула диэлектрика приобретает во внешнем электрическом поле индуцированный (наведенный) дипольный момент , пропорциональный напряженности внешнего поля

где поляризуемость молекулы, зависящая только от ее объема. Неполярная молекула подобна упругому диполю , длина плеча которого пропорциональна растягивающей силе, т.е. пропорциональна напряженности внешнего электрического поля.

Рассмотрим теперь молекулу поваренной соли NaCl. Атом Na имеет во внешнем электронном слое один валентный электрон, у атома Cl семь валентных электронов. При образовании молекулы единственный валентный электрон Na захватывается атомом Cl и оба нейтральных атома превращаются в систему из двух ионов с противоположными знаками. Положительный и отрицательный заряды не распределены теперь симметрично по объему молекулы (рис. 1.14, а ).

Диэлектрик называется полярным , если он состоит из молекул, у которых центры распределения положительных и отрицательных зарядов не совпадают даже в отсутствие внешнего электрического поля (). К полярным диэлектрикам относятся фенол, нитробензол и др.

Во внешнем электрическом поле напряженностью полярная молекула диэлектрика также деформируется, однако эта деформация незначительна и можно считать, что полярная молекула по своим свойствам подобна жесткому диполю , у которого имеется постоянный по модулю электрический момент ().

В однородном внешнем поле (рис. 1.14, б ) на жесткий диполь действует пара сил и , момент которой по модулю равен

Вектор момента пары сил Этот момент стремится развернуть диполь так, чтобы его электрический момент совпал по направлению с вектором напряженности поля . Такая ориентация диполя соответствует состоянию его устойчивого равновесия в однородном электростатическом поле.

Помимо рассмотренных двух групп различают кристаллические диэлектрики, имеющие ионную структуру, или слабополярные диэлектрики. К ним относятся KCl, CsCl и др.

Смещение положительных и отрицательных зарядов диэлектрика во внешнем электрическом поле называется поляризацией . Другими словами, при внесении диэлектрика во внешнее электрическое поле в любом макроскопически малом объеме вещества возникает отличный от нуля суммарный дипольный электрический момент молекул. Диэлектрик, находящийся в таком состоянии, называется поляризованным .

В зависимости от строения молекул диэлектрика различают три вида поляризации.

1. Электронная (деформационная) поляризация . Она наблюдается у неполярных диэлектриков. Под действием внешнего поля у молекул диэлектриков этого типа возникают индуцированные дипольные моменты направленные вдоль поля, т.е. по направлению вектора (рис. 1.13, б). Время установления этой поляризации порядка 10 -15 с.

2. Дипольная (ориентационная) поляризация . Она наблюдается у полярных диэлектриков. Внешнее электрическое поле стремится ориентировать дипольные моменты полярных молекул – жестких диполей – по направлению вектора напряженности поля. Этому препятствует хаотическое тепловое движение молекул, вызывающее беспорядочный разброс диполей. В итоге совместного действия поля и теплового движения возникает преимущественная ориентация дипольных электрических моментов вдоль поля, возрастающая с увеличением напряженности и с уменьшением температуры. Эта поляризация устанавливается за время порядка 10 -10 с.

3. Ионная поляризация . Она происходит в твердых диэлектриках, имеющих ионную кристаллическую решетку. Внешнее электрическое поле вызывает в таких диэлектриках смещение всех положительных ионов в направлении вектора напряженности поля, а всех отрицательных ионов – в противоположную сторону. Это происходит за время порядка 10 -13 с.

Количественной мерой поляризации диэлектрика служит вектор , называемый поляризованностью или вектором поляризации , равный отношению дипольного момента малого объема диэлектрика к этому объему:

(1.30)

где электрический дипольный момент i -молекулы; n - общее количество молекул в объеме . Этот объем должен быть столь малым, чтобы в его пределах электрическое поле можно было считать однородным.

В пределах малого объема все молекулы неполярного диэлектрика приобретают в электрическом поле одинаковые индуцированные электрические моменты . Поэтому поляризованность неполярного диэлектрика в электрическом поле напряженностью равна

где n 0 – концентрация молекул (); безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью неполярного диэлектрика ().

Поляризованность полярного диэлектрика

где среднее значение вектора дипольного момента для всех n молекул, содержащихся в малом объеме диэлектрика. Векторы молекул – жестких диполей – одинаковы по модулю и отличаются только ориентациями в поле. В очень сильном электрическом поле и при достаточно малой температуре электрические моменты всех молекул располагаются практически параллельно вектору . При этом поляризованность полярного диэлектрика достигает максимального значения:

В результате поляризации на гранях д иэлектрика появляются заряды, не компенсированные соседними диполями. Это приводит к тому, что на одной его поверхности возникают положительные заряды, а на другой – отрицательные. Эти электрические заряды называют связанными .

Внесем в однородное внешнее электростатическое поле , создаваемое двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями, пластинку из однородного диэлектрика (рис. 1.15). Под влиянием поля диэлектрик поляризуется, т.е. происходит смещение зарядов – положительные смещаются вдоль поля, отрицательные – против поля. В результате на правой грани диэлектрика будет избыток положительного заряда с поверхностной плотностью , на левой грани – избыток отрицательного заряда с поверхностной плотностью . Так как поверхностная плотность связанных зарядов меньше плотности свободных зарядов плоскостей, то не все поле компенсируется полем зарядов диэлектрика: часть линий напряженности пройдет сквозь диэлектрик, другая же часть обрывается на связанныхзарядах. Таким образом, поляризация диэлектрика вызывает ослабление в нем поля по сравнению с первоначальным внешним полем. Вне диэлектрика поле

Следовательно, появление связанных зарядов приводит к возникновению дополнительного поля напряженностью (поля, создаваемого связанными зарядами), которое направлено против внешнего поля (поля, создаваемого свободными зарядами) и ослабляет его. Модуль напряженности результирующего поля внутри диэлектрика

Напряженность поля, создаваемого двумя протяженными заряженными плоскостями, определяется по формуле (1.27), поэтому

(1.32)

Определим поверхностную плотность связанных зарядов . С одной стороны, согласно (1.30) полный дипольный момент пластинки диэлектрика где площадь пластинки, ее толщина. С другой стороны, полный дипольный момент равен произведению связанного заряда каждой грани на расстояние между ними, т.е. Таким образом, или

т.е. поверхностная плотность связанных зарядов равна поляризованности.

Подставив в (1.32) выражение (1.33) и учитывая формулу (1.31), получим:

откуда напряженность результирующего поля внутри диэлектрика равна

(1.34)

где безразмерная величина

называется диэлектрической проницаемостью среды . Из (1.34) следует, что показывает, во сколько раз электрическое поле ослабляется диэлектриком, количественно характеризуя свойство диэлектрика поляризоваться во внешнем поле. Диэлектрическая проницаемость некоторых веществ приведена в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Как следует из формулы (1.34) напряженность электростатического поля зависит от свойств среды: в однородной изотропной среде напряженность поля обратно пропорциональна . Вектор напряженности , переходя через границу диэлектриков, изменяется скачком, создавая затруднения при расчете электростатических полей. Поэтому помимо вектора напряженности поле характеризуется еще вектором электрического смещения (электрической индукции) , который связан с вектором напряженности в электрически изотропной среде соотношением:

Так как в (1.36) то , т.е. электрическое смещение внутри диэлектрика совпадает с электрическим смещением внешнего поля .

Что характеризует вектор электрического смещения? Электрическое поле в диэлектрике создается как свободными, так и связанными зарядами. Вектор напряженности характеризует результирующее поле. Однако первичным источником электрического поля в диэлектрике являются свободные заряды, так как поле связанных зарядов возникает в результате поляризации диэлектрика при помещении его в поле системы свободных зарядов. В свою очередь, поле связанных электрических зарядов может вызвать перераспределение свободных зарядов и соответственно изменить их поле. Поэтому вектор характеризуетэлектростатическое поле, создаваемое свободными зарядами, но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Поле графически изображается линиями электрического смещения – линиями, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором электрического смещения. Линии вектора могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах – свободных и связанных, в то время как линии вектора - только на свободных зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии электрического смещения проходят не прерываясь.

Как следует из рис. 1.16, линии напряженности претерпевают разрыв на границе диэлектрик – вакуум (а ), а линии электрического смещения остаются непрерывными (б ). Непрерывность линий электрического смещения облегчает вычисление при заданном распределении зарядов.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике формулируется следующим образом: поток вектора смещения электростатического поля в диэлектрике сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных электрических зарядов, т.е.

(1.37)

Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике. Вектор напряженности начинается и заканчивается на свободных и связанных зарядах

Для поля в веществе удобно использовать индукцию электрического поля:

Для дискретного заряда

Для непрерывных зарядов:

уравнение Максвелла

Поток через замкнутую поверхность вектора индукции электрического поля равен суммарному свободному заряду внутри этой поверхности.

Физический смысл

Силовые линии начинаются и заканчиваются на свободных зарядах.

Определение диэлектрической проницаемости приводилось еще в школьной программе. Не вдаваясь в детали, ее проще определить через заряд плоского конденсатора. Если взять плоский конденсатор в вакууме, то заряд на каждой его пластине равен (по модулю):

(1.4)

где e 0 - диэлектрическая постоянная, или диэлектрическая проницаемость вакуума, e 0 = 8.85 · 10 -12 Ф/м, S- площадь каждой из пластин, d - зазор между пластинами, U - напряжение между ними. Разделив на площадь и перейдя к плотности заряда на обкладке s, получим s = e 0 ·E.

Что произойдет если в межэлектродное пространство ввести диэлектрик? Все зависит от того, подключен заряженный конденсатор к источнику, или отключен. В подключенном конденсаторе напряжение между пластинами принудительно поддерживается, но заряд на каждой пластине увеличивается до нового значения Q m . Отношение Q m/ Q 0 = e называется диэлектрической проницаемостью материала. Из самого определения видно, что диэлектрическая проницаемость материала является б е з р а з м е р н о й величиной. Перейдя к плотности заряда на обкладке, в случае диэлектрика получим s = e 0 ·e·E.

Откуда притекает дополнительный заряд? Ясно, что заряд притекает из источника.

В отключенном от источника заряженном конденсаторе ситуация несколько отличается. Заряд не может измениться, т.к. ему некуда утекать и неоткуда притекать. В этом случае изменится другой параметр. Оказывается, уменьшаются напряжение на конденсаторе и, соответственно, напряженность поля в конденсаторе. Коэффициент о с л а б л е н и я поля тот же самый, как и в случае у в е л и ч е н и я заряда при подключенном источнике, т.е. он равен e.

За счет чего это происходит? Рассмотрим этот вопрос подробнее. Здесь придется обратиться к понятию поляризации.

Как известно молекулы состоят из атомов, окруженных электронными оболочками. При этом электроны могут равномерно распределяться по молекуле, а могут и концентрироваться на каких-либо атомах. В первом случае говорят, что молекула неполярная. Пример - молекула водорода или атом гелия, или молекула бензола.

Во втором случае в молекуле образуются области с положительным и отрицательным зарядом. Если в молекуле можно выделить направление, вдоль которого с одной стороны можно расположить положительные заряды, а с другой стороны - отрицательные, то такая молекула называется полярной или дипольной. Пример, молекула HCl, в которой электрон переходит с атома водорода на атом хлора, тем самым хлор заряжается отрицательно, а водород - положительно.

Вектор электрического смещения. Напряженность электростатического поля, как следует из ранее полученной формулы E=E 0 /ε , зависит от свойств среды: в однородной изотропной среде напряженность поля Е обратно пропорциональна ε. Вектор напряженности Е, при переходе через границу диэлектриков, испытывает скачкообразное изменение, тем самым делая неудобства при расчетах электростатических полей. Поэтому необходимо помимо вектора напряженности характеризовать поле еще вектором электрического смещения, который для электрически изотропной среды, по определению, равен (1). Поскольку ε=1+θ и P=θε 0 E , вектор электрического смещения равен (2). Единица электрического смещения - кулон на метр в квадрате (Кл/м 2).

Выясним, с чем можно связать вектор электрического смещения. Связанные заряды образуются в диэлектрике при наличии внешнего электростатического поля, который создается системой свободных электрических зарядов, т. е. в диэлектрике электростатическое поле свободных зарядов суммируется с дополнительным полем связанных зарядов. Результирующее поле в диэлектрике характеризуется вектором напряженности Е, и потому он зависит от свойств диэлектрика. Вектором D характеризуется электростатическое поле, которое создавается свободными зарядами. Связанные заряды, которые возникают в диэлектрике, могут вызвать перераспределение свободных зарядов, которые создают поле. Поэтому вектор D характеризует электростатическое поле, которое создается свободными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Аналогичным образом, как и поле Е, поле D следует графически изображать с помощью линий электрического смещения, направление и густота которых задаются также, как и для линий напряженности.

Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах - свободных и связанных, в то время как линии вектора D - только на свободных зарядах. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора D проходят не прерываясь.

Для любой замкнутой поверхности S поток вектора D сквозь эту поверхность .

где D n - проекция вектора D на единичный перпендикуляр n к площадке dS.

Еще по теме 2. Теорема Гаусса для электрического поля в диэлектрике. Диэлектрическая проницае­мость. Вектор электрического смещения и его связь с напряженностью электрического поля.:

1. 2.2 Электропроводность диэлектриков, диэлектрические потери, диэлектрическая проницаемость, электрическая прочность, виды пробоя в диэлектриках
2. 23. Действие электрического тока на организм. Электротравма. Особенности электрического тока как повреждающего фактора.

Наиболее сложным оказывается изучение электрических явлений в неоднородной электрической среде. В такой среде ε имеет различные значения, изменяясь на границе диэлектриков скачкообразно. Предположим, что мы определяем напряжённость поля на границе раздела двух сред: ε 1 =1 (вакуум или воздух) и ε 2 =3 (жидкость – масло). На границе раздела при переходе из вакуума в диэлектрик напряжённость поля уменьшается в три раза, во столько же раз уменьшается поток вектора напряжённости (рис.12.25, а). Скачкообразное изменение вектора напряжённости электростатического поля на границе раздела двух сред создаёт определённые трудности при расчёте полей. Что касается теоремы Гаусса, то в этих условиях она вообще теряет смысл.

Так как поляризуемость и напряжённость разнородных диэлектриков различна, различным будет и число силовых линий в каждом диэлектрике. Это затруднение можно устранить, введя новую физическую характеристику поля электрическую индукцию D (или вектор электрического смещения ).

Согласно формуле

ε 1 Е 1 = ε 2 Е 2 =Е 0 =const

Умножая все части этих равенств на электрическую постоянную ε 0 получим

ε 0 ε 1 Е 1 = ε 0 ε 2 Е 2 =ε 0 Е 0 =const

Введём обозначение ε 0 εЕ=D тогда предпоследнее соотношение примет вид

D 1 = D 2 =D 0 =const

Вектор D, равный произведению напряжённости электрического поля в диэлектрике на его абсолютную диэлектрическую проницаемость, называют вектором электрического смещения

(12.45)

Единица электрического смещения – кулон на квадратный метр (Кл/м 2).

Электрическое смещение – векторная величина, её можно выразить ещё как

D = εε 0 E =(1+χ)ε 0 E = ε 0 E + χε 0 E = ε 0 E+P

(12.46)

В отличие от напряжённости Е электрическое смещение D постоянно во всех диэлектриках (рис.12.25, б). Поэтому электрическое поле в неоднородной диэлектрической среде удобно характеризовать не напряжённостью Е, а вектором смещения D . Вектором D описывается электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т.е. в вакууме), но при таком их распределении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика, так как связанные заряды, возникающие в диэлектрики, могут вызвать, перераспределение свободных зарядов создающих поле.

Поле вектора графически изображается линиями электрического смещения точно так же, как полеизображается силовыми линиями.

Линия электрического смещения – это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором электрического смещения.

Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах – свободных и связанных, в то время как линии вектора D - только на свободных зарядах. Линии вектора D в отличие от линий напряжённости непрерывны.

Так как вектор электрического смещения не испытывает разрыва на границе раздела двух сред, то все линии индукции, исходящие из зарядов, окружённых некоторой замкнутой поверхностью, пронижут её. Поэтому для вектора электрического смещения теорема Гаусса полностью сохраняет свой смысл и для неоднородной диэлектрической среды.

Теорема Гаусса для электростатического поля в диэлектрике : поток вектора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов заключенных внутри этой поверхности.

(12.47)

Напряженность электростатического поля, согласно (88.5), зависит от свойств среды: в однородной изотропной среде напряжен­ность поля Е обратно пропорциональна . Вектор напряженности Е , переходя через границу диэлектриков, претерпевает скач­кообразное изменение, создавая тем са­мым неудобства при расчете электростати­ческих полей. Поэтому оказалось необхо­димым помимо вектора напряженности характеризовать поле еще вектором элек­трического смещения, который для элек­трически изотропной среды по определе­нию равен -

D =  0 E. (89.1)

Используя формулы (88.6) и (88.2), век­тор электрического смещения можно вы­разить как

D=  0 E+P. (89.2)

Единица электрического смещения - кулон на метр в квадрате (Кл/м 2).

Рассмотрим, с чем можно связать век­тор электрического смещения. Связанные заряды появляются в диэлектрике при на­личии внешнего электростатического поля, создаваемого системой свободных элек­трических зарядов, т. е. в диэлектрике на электростатическое поле свободных заря­дов накладывается дополнительное поле связанных зарядов. Результирующее поле в диэлектрике описывается вектором на­пряженности Е , и потому он зависит от свойств диэлектрика. Вектором D описыва­ется электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами. Связанные заряды, возникающие в диэлектрике, могут вы­звать, однако, перераспределение свободных зарядов, создающих поле. Поэтому век­тор D характеризует электростатическое поле, создаваемое свободными зарядами (т. е. в вакууме), но при таком их распре­делении в пространстве, какое имеется при наличии диэлектрика.

Аналогично, как и поле Е , полеD изо­бражается с помощью линий электриче­ского смещения, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий напряженности (см. § 79).

Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться на любых зарядах - свободных и связанных, в то время как линии вектора D - только на свободных зарядах. Через области поля, где находят­ся связанные заряды, линии вектора D про­ходят не прерываясь.

Для произвольной замкнутой повер­хности 5 поток вектора D сквозь эту по­верхность

Теорема Гаусса для электростатиче­ского поля в диэлектрике:

т. е. поток вектора смещения электроста­тического поля в диэлектрике сквозь про­извольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внут­ри этой поверхности свободных электриче­ских зарядов. В такой форме теорема Га­усса справедлива для электростатического поля как для однородной и изотропной, так и для неоднородной и анизотропной сред.

Для вакуума D n =  0 Е n (=1), тогда поток вектора напряженности Е сквозь произвольную замкнутую поверхность (ср. с (81.2)) равен

Так как источниками поля Е в среде являются как свободные, так и связанные заряды, то теорему Гаусса (81.2) для поля Е в самом общем виде можно запи-

Соответственно ал-

гебраические суммы свободных и связан­ных зарядов, охватываемых замкнутой по­верхностью 5. Однако эта формула не­приемлема для описания поля Е в ди­электрике, так как она выражает свойства неизвестного поля Е через связанные за­ряды, которые, в свою очередь, определя­ются им же. Это еще раз доказывает целе­сообразность введения вектора электриче­ского смещения.