Всякое целое число большее единицы, однозначно разлагается на простые делители.
Иоганн Карл Фридрих Гаусс
Иоганн Карл Фридрих Гаусс (30 апреля 1777, Брауншвейг - 23 февраля 1855) - немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков».
Карл Фридрих Гаусс родился 30 апреля 1777 года в Брауншвейге. Он унаследовал от родных отца крепкое здоровье, а от родных матери - яркий интеллект.
В семь лет Карл Фридрих поступил в Екатерининскую народную школу. Поскольку считать там начинали с третьего класса, первые два года на маленького Гаусса внимания не обращали. В третий класс ученики обычно попадали в десятилетнем возрасте и учились там до конфирмации (пятнадцати лет). Учителю Бюттнеру приходилось заниматься одновременно с детьми разного возраста и разной подготовки. Поэтому он давал обычно части учеников длинные задания на вычисление, с тем чтобы иметь возможность беседовать с другими учениками. Однажды группе учеников, среди которых был Гаусс, было предложено просуммировать натуральные числа от 1 до 100. По мере выполнения задания ученики должны были класть на стол учителя свои грифельные доски. Порядок досок учитывался при выставлении оценок. Десятилетний Карл положил свою доску, едва Бюттнер кончил диктовать задание. К всеобщему удивлению, лишь у него ответ был правилен. Секрет был прост: пока диктовалось задание, Гаусс успел для себя открыть заново формулу для суммы арифметической прогрессии! Слава о чудо-ребёнке распространилась по маленькому Брауншвейгу.
В 1788 году Гаусс переходит в гимназию. Впрочем, в ней не учат математике. Здесь изучают классические языки. Гаусс с удовольствием занимается языками и делает такие успехи, что даже не знает, кем он хочет стать - математиком или филологом.
О Гауссе узнают при дворе. В 1791 году его представляют Карлу Вильгельму Фердинанду - герцогу Брауншвейгскому. Мальчик бывает во дворце и развлекает придворных искусством счёта. Благодаря покровительству герцога Гаусс смог в октябре 1795 года поступить в Гёттингенский университет. Первое время он слушает лекции по филологии и почти не посещает лекций по математике. Но это не означает, что он не занимается математикой.
В 1795 году Гаусса охватывает страстный интерес к целым числам. Незнакомый с какой бы то ни было литературой, он должен был всё создавать себе сам. И здесь он вновь проявляет себя как незаурядный вычислитель, пролагающий пути в неизвестное. Осенью того же года Гаусс переезжает в Гёттинген и прямо-таки проглатывает впервые попавшуюся ему литературу: Эйлера и Лагранжа.
«30 марта 1796 года наступает для него день творческого крещения… - пишет Ф. Клейн. - Гаусс уже занимался с некоторого времени группировкой корней из единицы на основании своей теории „первообразных“ корней. И вот однажды утром, проснувшись, он внезапно ясно и отчётливо осознал, что из его теории вытекает построение семнадцатиугольника. Более того, он разрешил проблему построения правильных многоугольников до конца и нашёл критерий возможности построения правильного n -угольника с помощью циркуля и линейки: если n — простое число, то оно должно быть вида
n = 2 2 k + 1
(числом Ферма). Этим открытием Гаусс очень дорожил и завещал изобразить на его могиле правильный 17-угольник, вписанный в круг.
Это событие явилось поворотным пунктом в жизни Гаусса. Он принимает решение посвятить себя не филологии, а исключительно математике».
Работа Гаусса надолго становится недосягаемым образцом математического открытия. Один из создателей неевклидовой геометрии Янош Бойяи называл его «самым блестящим открытием нашего времени или даже всех времён». Сколь трудно было это открытие постигнуть! Благодаря письмам на родину великого норвежского математика Абеля, доказавшего неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени, мы знаем о трудном пути, который он прошёл, изучая теорию Гаусса. В 1825 году Абель пишет из Германии: «Если даже Гаусс — величайший гений, он, очевидно, не стремился, чтобы все это сразу поняли…» Работа Гаусса вдохновляет Абеля на построение теории, в которой «столько замечательных теорем, что просто не верится». Несомненно влияние Гаусса и на Галуа.
Сам Гаусс сохранил трогательную любовь к своему первому открытию на всю жизнь.
«Рассказывают, что Архимед завещал построить над своей могилой памятник в виде шара и цилиндра в память о том, что он нашёл отношение объёмов цилиндра и вписанного в него шара — 3:2. Подобно Архимеду, Гаусс выразил желание, чтобы в памятнике на его могиле был увековечен семнадцатиугольник. Это показывает, какое значение сам Гаусс придавал своему открытию. На могильном камне Гаусса этого рисунка нет, но памятник, воздвигнутый Гауссу в Брауншвейге, стоит на семнадцатиугольном постаменте, правда, едва заметном зрителю», - писал Г. Вебер.
30 марта 1796 года, в день, когда был построен правильный семнадцатиугольник, начинается дневник Гаусса - летопись его замечательных открытий. Следующая запись в дневнике появилась уже 8 апреля. В ней сообщалось о доказательстве теоремы квадратичного закона взаимности, которую он назвал «золотой». Частные случаи этого утверждения доказали Ферма, Эйлер, Лагранж. Эйлер сформулировал общую гипотезу, неполное доказательство которой дал Лежандр. 8 апреля Гаусс нашёл полное доказательство гипотезы Эйлера. Впрочем, Гаусс ещё не знал о работах своих великих предшественников. Весь нелёгкий путь к «золотой теореме» он прошёл самостоятельно!
Два великих открытия Гаусс сделал на протяжении всего десяти дней, за месяц до того, как ему исполнилось 19 лет! Одна из самых удивительных сторон «феномена Гаусса» заключается в том, что он в своих первых работах практически не опирался на достижения предшественников, открыв как бы заново за короткий срок то, что было сделано в теории чисел за полтора века трудами крупнейших математиков.
В 1801 году вышли знаменитые «Арифметические исследования» Гаусса. Эта огромная книга (более 500 страниц крупного формата) содержит основные результаты Гаусса. Книга была издана на средства герцога и ему посвящена. В изданном виде книга состояла из семи частей. На восьмую часть денег не хватило. В этой части речь должна была идти об обобщении закона взаимности на степени выше второй, в частности - о биквадратичном законе взаимности. Полное доказательство биквадратичного закона Гаусс нашёл лишь 23 октября 1813 года, причём в дневниках он отметил, что это совпало с рождением сына.
За пределами «Арифметических исследований» Гаусс, по существу, теорией чисел больше не занимался. Он лишь продумывал и доделывал то, что было задумано в те годы.
«Арифметические исследования» оказали огромное влияние на дальнейшее развитие теории чисел и алгебры. Законы взаимности до сих пор занимают одно из центральных мест в алгебраической теории чисел.
В Брауншвейге Гаусс не имел литературы, необходимой для работы над «Арифметическими исследованиями». Поэтому он часто ездил в соседний Гельмштадт, где была хорошая библиотека. Здесь в 1798 году Гаусс подготовил диссертацию, посвящённую доказательству Основной теоремы алгебры — утверждения о том, что всякое алгебраическое уравнение имеет корень, который может быть числом действительным или мнимым, одним словом - комплексным. Гаусс критически разбирает все предшествующие попытки доказательства и с большой тщательностью проводит идею д"Аламбера. Безупречного доказательства всё же не получилось, так как не хватало строгой теории непрерывности. В дальнейшем Гаусс придумал ещё три доказательства Основной теоремы (последний раз - в 1848 году).
«Математический век» Гаусса - менее десяти лет. При этом большую часть времени заняли работы, оставшиеся неизвестными современникам (эллиптические функции).
Очень многие исследования Гаусса остались неопубликованными и в виде очерков, незаконченных работ, переписки с друзьями входят в его научное наследие. Вплоть до 2-й мировой войны 1939-45 оно тщательно разрабатывалось Гёттингенским учёным обществом, которое издало 12 томов сочинений Гаусса. Наиболее интересными в этом наследии являются дневник Гаусса и материалы по неевклидовой геометрии и теории эллиптических функций. Дневник содержит 146 записей, относящихся к периоду от 30 марта 1796, когда 19-летний Гаусс отметил открытие построения правильного 17-угольника, по 9 июля 1814. Эти записи дают отчётливую картину творчества Гаусса в первой половине его научной деятельности; они очень кратки, написаны на латинском языке и излагают обычно сущность открытых теорем. Материалы, относящиеся к неевклидовой геометрии, обнаруживают, что Гаусс пришёл к мысли о возможности построения наряду с евклидовой геометрией и геометрии неевклидовой в 1818, но опасение, что эти идеи не будут поняты, было причиной того, что Гаусс их не разрабатывал далее и не опубликовывал. Более того, он категорически запрещал опубликовывать их тем, кого посвящал в свои взгляды. Когда вне всякого отношения к этим попыткам Гаусса неевклидова геометрия была построена и опубликована Н.И. Лобачевским, Гаусс отнёсся к публикациям Н.И. Лобачевского с большим вниманием, был инициатором избрания его чл.-корр. Гёттингенского учёного общества, но своей оценки великого открытия Н.И. Лобачевского по существу не дал. Архивы Гаусса содержат также обильные материалы по теории эллиптических функций и своеобразную их теорию; однако заслуга самостоятельной разработки и публикации теории эллиптических функций принадлежит Якоби и Абелю. Содержательный набросок теории кватернионов, 20 лет спустя независимо открытых Гамильтоном так же обнаружен в неопубликованных работах Гаусса.
С наступлением нового века научные интересы Гаусса решительно сместились в сторону от чистой математики. Он много раз эпизодически будет обращаться к ней, и каждый раз получать результаты, достойные гения. В 1812 году он опубликовал работу о гипергеометрической функции. Широко известна заслуга Гаусса в геометрической интерпретации комплексных чисел.
Новым увлечением Гаусса стала астрономия. Одной из причин, по которой он занялся новой наукой, была прозаическая. Гаусс занимал скромное положение приват-доцента в Брауншвейге, получая 6 талеров в месяц. Пенсия в 400 талеров от герцога-покровителя не настолько улучшила его положение, чтобы он мог содержать семью, а он подумывал о женитьбе. Получить где-нибудь кафедру по математике было непросто, да Гаусс и не очень стремился к активной преподавательской деятельности. Расширяющаяся сеть обсерваторий делала карьеру астронома более доступной.
Гаусс начал интересоваться астрономией ещё в Гёттингене. Кое-какие наблюдения он проводил в Брауншвейге, причём часть герцогской пенсии он израсходовал на покупку секстанта. Он ищет достойную вычислительную задачу.
Учёный вычисляет траекторию предполагаемой новой большой планеты. Немецкий астроном Ольберс, опираясь на вычисления Гаусса, нашёл планету (её назвали Церерой). Это была подлинная сенсация!
25 марта 1802 году Ольберс открывает ещё одну планету - Палладу. Гаусс быстро вычисляет её орбиту, показав, что и она располагается между Марсом и Юпитером. Действенность вычислительных методов Гаусса стала для астрономов несомненной.
К Гауссу приходит признание. Одним из признаков этого было избрание его членом-корреспондентом Петербургской академии наук. Вскоре его пригласили занять место директора Петербургской обсерватории. В то же время Ольберс предпринимает усилия, чтобы сохранить Гаусса для Германии. Ещё в 1802 году он предлагает куратору Гёттингенского университета пригласить Гаусса на пост директора вновь организованной обсерватории. Ольберс пишет при этом, что Гаусс «к кафедре математики имеет положительное отвращение». Согласие было дано, но переезд состоялся лишь в конце 1807 года. За это время Гаусс женился. «Жизнь представляется мне весной со всегда новыми яркими цветами», — восклицает он. В 1806 году умирает от ран герцог, к которому Гаусс, по-видимому, был искренне привязан. Теперь ничто не удерживает его в Брауншвейге.
Жизнь Гаусса в Гёттингене складывалась несладко. В 1809 году после рождения сына умерла жена, а затем и сам ребёнок. Вдобавок Наполеон обложил Гёттинген тяжёлой контрибуцией. Сам Гаусс должен был заплатить непосильный налог в 2000 франков. За него попытались внести деньги Ольберс и, прямо в Париже, Лаплас. Оба раза Гаусс гордо отказался. Однако нашёлся ещё один благодетель, на этот раз - аноним, и деньги возвращать было некому. Только много позднее узнали, что это был курфюрст Майнцский, друг Гёте. «Смерть мне милее такой жизни», - пишет Гаусс между заметками по теории эллиптических функций. Окружающие не ценили его работ, считали его, по меньшей мере, чудаком. Ольберс успокаивает Гаусса, говоря, что не следует рассчитывать на понимание людей: «их нужно жалеть и им служить».
В 1809 году выходит знаменитая «Теория движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям». Гаусс излагает свои методы вычисления орбит. Чтобы убедиться в силе своего метода, он повторяет вычисление орбиты кометы 1769 года, которую в своё время за три дня напряжённого счёта вычислил Эйлер. Гауссу на это потребовался час. В книге был изложен метод наименьших квадратов, остающийся по сей день одним из самых распространённых методов обработки результатов наблюдений.
На 1810 год пришлось большое число почестей: Гаусс получил премию Парижской академии наук и золотую медаль Лондонского королевского общества, был избран в несколько академий.
Регулярные занятия астрономией продолжались почти до самой смерти. Знаменитую комету 1812 года всюду наблюдали, пользуясь вычислениями Гаусса. 28 августа 1851 года Гаусс наблюдал солнечное затмение. У Гаусса было много учеников-астрономов: Шумахер, Герлинг, Николаи, Струве. Крупнейшие немецкие геометры Мёбиус и Штаудт учились у него не геометрии, а астрономии. Он состоял в активной переписке со многими астрономами регулярно.
К 1820 году центр практических интересов Гаусса переместился в геодезию. Геодезии мы обязаны тем, что на сравнительно короткое время математика вновь стала одним из главных дел Гаусса. В 1816 году он думает об обобщении основной задачи картографии - задачи об отображении одной поверхности на другую «так, чтобы отображение было подобно отображаемому в мельчайших деталях».
В 1828 году вышел в свет основной геометрический мемуар Гаусса «Общие исследования о кривых поверхностях». Мемуар посвящён внутренней геометрии поверхности, т. е. тому, что связано со структурой самой этой поверхности, а не с её положением в пространстве.
Оказывается, «не покидая поверхности», можно узнать, кривая она или нет. «Настоящую» кривую поверхность ни при каком изгибании нельзя развернуть на плоскость. Гаусс предложил числовую характеристику меры искривления поверхности.
К концу двадцатых годов Гаусс, перешедший пятидесятилетний рубеж, начинает поиски новых для себя областей научной деятельности. Об этом свидетельствуют две публикации 1829 и 1830 годов. Первая из них несёт печать размышлений об общих принципах механики (здесь строится «принцип наименьшего принуждения» Гаусса); другая посвящена изучению капиллярных явлений. Гаусс решает заниматься физикой, но его узкие интересы ещё не определились.
В 1831 году он пытается заниматься кристаллографией. Это очень трудный год в жизни Гаусса: умирает его вторая жена, у него начинается тяжелейшая бессонница. В этом же году в Гёттинген приезжает приглашённый по инициативе Гаусса 27-летний физик Вильгельм Вебер. Гаусс познакомился с ним в 1828 году в доме Гумбольдта. Гауссу было 54 года, о его замкнутости ходили легенды, и всё же в Вебере он нашёл сотоварища по занятиям наукой, какого он никогда не имел прежде.
Интересы Гаусса и Вебера лежали в области электродинамики и земного магнетизма. Их деятельность имела не только теоретические, но и практические результаты. В 1833 году они изобретают электромагнитный телеграф. Первый телеграф связывал магнитную обсерваторию с городом Нойбургом.
Изучение земного магнетизма опиралось как на наблюдения в магнитной обсерватории, созданной в Гёттингене, так и на материалы, которые собирались в разных странах «Союзом для наблюдения над земным магнетизмом», созданным Гумбольдтом после возвращения из Южной Америки. В это же время Гаусс создаёт одну из важнейших глав математической физики - теорию потенциала.
Совместные занятия Гаусса и Вебера были прерваны в 1843 году, когда Вебера вместе с шестью другими профессорами изгнали из Гёттингена за подписание письма королю, в котором указывались нарушения последним конституции (Гаусс не подписал письма). Возвратился в Гёттинген Вебер лишь в 1849 году, когда Гауссу было уже 72 года.
В последние годы жизни Гаусса ему воздавались всевозможные почести, но он не был настолько счастлив, насколько заслужил на это право. Оставаясь, как всегда, могучим разумом и плодотворно изобретательным, Гаусс не стремился к отдыху, когда за несколько месяцев до смерти появились первые признаки его последней болезни.
В первый раз, более чем за 20 лет, он покинул Гёттинген 16 июня 1854 года, чтобы увидеть строительство железной дороги между его городом и Касселеем - Гаусс всегда проявлял большой интерес к сооружению и действию железных дорог. Лошади понесли, он был выброшен из кареты, остался невредим, но сильно потрясённым. Он выздоровел и даже доставил себе удовольствие быть очевидцем церимонии открытия железной дороги 31 июля 1854 года. Это был его утешительный день.
В самом начале нового года он стал страдать большей частью от расширения сердца и недостаточности дыхания. Тем не менее, он работал, когда мог, хотя его руку сводило и, наконец, нарушился его красивый ясный почерк.
В полном сознании почти до самого конца, Гаусс спокойно умер рано утром 23 февраля 1854 года на 78-м году жизни.
В честь Гаусса названы:
- кратер на Луне;
- одна из малых планет;
- система единиц СГС именуется гауссовой;
- единица измерения магнитной индукции в системе СГС;
- одна из фундаментальных астрономических постоянных — постоянная Гаусса;
- вулкан Гауссберг в Антарктиде;
- смотровая башня в немецком городе Дрансфельд;
- один из корпусов Колифорнийского университета;
- одно из зданий университета в штате Айдахо (Инженерный колледж).
- В Федеративной Республике Германии (1955, 1977) и Германской Демократической Республике (1977) выпущены почтовые марки посвященные памяти Гаусса.
Портрет Гаусса был размещён на банкноте в 10 немецких марок:
Имя Гаусса носят следующие научные объекты:
- Задача Гаусса
- Закон Гаусса
- Интеграл вероятности Гаусса
- Интерполяционная формула Гаусса
- Квадратурная формула Гаусса
- Распределение Гаусса-Лапласа
- Гауссово кольцо
- Гауссово число
- Гауссовский процесс
- Гауссовы логарифмы
- Алгоритм Гаусса (вычисления даты пасхи)
- Дискриминанты Гаусса
- Гауссова кривизна
- Лента Гаусса
- Метод Гаусса (решения систем линейных уравнений)
- Метод Гаусса - Жордана
- Метод Гаусса - Зейделя
- Нормальное или Гауссово распределение
- Прямая Гаусса
- Пушка Гаусса
- Ряд Гаусса
- Теорема Гаусса - Ванцеля
- Фильтр Гаусса
- Формула Гаусса - Бонне
По материалам статьи «Карл Гаусс» книги Д. Самина «100 великих учёных», книги Э.Т. Белл «Творцы математики» и Математического энциклопедического словаря.
Карл Гаусс (1777-1855), - немецкий математик, астроном и физик. Создал теорию «первообразных» корней из которой вытекало построение семнадцатиугольника. Один из величайших математиков всех времён.
Карл Фридрих Гаусс родился 30 апреля 1777 года в Брауншвейге. Он унаследовал от родных отца крепкое здоровье, а от родных матери яркий интеллект.
В семь лет Карл Фридрих поступил в Екатерининскую народную школу. Поскольку считать там начинали с третьего класса, первые два года на маленького Гаусса внимания не обращали. В третий класс ученики обычно попадали в десятилетнем возрасте и учились там до конфирмации (пятнадцати лет). Учителю Бюттнеру приходилось заниматься одновременно с детьми разного возраста и разной подготовки. Поэтому он давал обычно части учеников длинные задания на вычисление, с тем чтобы иметь возможность беседовать с другими учениками. Однажды группе учеников, среди которых был Гаусс, было предложено просуммировать натуральные числа от 1 до 100. По мере выполнения задания ученики должны были класть на стол учителя свои грифельные доски. Порядок досок учитывался при выставлении оценок. Десятилетний Карл положил свою доску, едва Бюттнер кончил диктовать задание. К всеобщему удивлению, лишь у него ответ был правилен. Секрет был прост: пока диктовалось задание. Гаусс успел для себя открыть заново формулу для суммы арифметической прогрессии! Слава о чудо-ребенке распространилась по маленькому Брауншвейгу.
В 1788 году Гаусс переходит в гимназию. Впрочем, в ней не учат математике. Здесь изучают классические языки. Гаусс с удовольствием занимается языками и делает такие успехи, что даже не знает, кем он хочет стать - математиком или филологом.
О Гауссе узнают при дворе. В 1791 году его представляют Карлу Вильгельму Фердинанду - герцогу Брауншвейгскому. Мальчик бывает во дворце и развлекает придворных искусством счета. Благодаря покровительству герцога Гаусс смог в октябре 1795 года поступить в Геттингенский университет. Первое время он слушает лекции по филологии и почти не посещает лекций по математике. Но это не означает, что он не занимается математикой.
В 1795 году Гаусса охватывает страстный интерес к целым числам. Незнакомый с какой бы то ни было литературой, он должен был все создавать себе сам. И здесь он вновь проявляет себя как незаурядный вычислитель, пролагающий пути в неизвестное. Осенью того же года Гаусс переезжает в Геттинген и прямо-таки проглатывает впервые попавшуюся ему литературу: Эйлера и Лагранжа.
«30 марта 1796 года наступает для него день творческого крещения. - пишет Ф. Клейн. - Гаусс уже занимался с некоторого времени группировкой корней из единицы на основании своей теории «первообразных» корней. И вот однажды утром, проснувшись, он внезапно ясно и отчетливо осознал, что из его теории вытекает построение семнадцатиугольника... Это событие явилось поворотным пунктом жизни в Гаусса. Он принимает решение посвятить себя не филологии, а исключительно математике».
Работа Гаусса надолго становится недосягаемым образцом математического открытия. Один из создателей неевклидовой геометрии Янош Бойяи называл его «самым блестящим открытием нашего времени или даже всех времен». Сколь трудно было это открытие постигнуть. Благодаря письмам на родину великого норвежского математика Абеля, доказавшего неразрешимость в радикалах уравнения пятой степени, мы знаем о трудном пути, который он прошел, изучая теорию Гаусса. В 1825 году Абель пишет из Германии: «Если даже Гаусс - величайший гений, он, очевидно, не стремился, чтобы все это сразу поняли...» Работа Гаусса вдохновляет Абеля на построение теории, в которой «столько замечательных теорем, что просто не верится». Несомненно влияние Гаусса и на Галуа.
Сам Гаусс сохранил трогательную любовь к своему первому открытию на всю жизнь.
«Рассказывают, что Архимед завещал построить над своей могилой памятник в виде шара и цилиндра в память о том, что он нашел отношение объемов цилиндра и вписанного в него шара - 3:2. Подобно Архимеду, Гаусс выразил желание, чтобы в памятнике на его могиле был увековечен семнадцатиугольник. Это показывает, какое значение сам Гаусс придавал своему открытию. На могильном камне Гаусса этого рисунка нет, памятник, воздвигнутый Гауссу в Брауншвейге, стоит на семнадцатиугольном постаменте, правда, едва заметном зрителю», - писал Г. Вебер.
30 марта 1796 года, в день, когда был построен правильный семнадцатиугольник, начинается дневник Гаусса - летопись его замечательных открытий. Следующая запись в дневнике появилась уже 8 апреля. В ней сообщалось о доказательстве теоремы квадратичного закона взаимности, которую он назвал «золотой». Частные случаи этого утверждения доказали ферма, Эйлер, Лагранж. Эйлер сформулировал общую гипотезу, неполное доказательство которой дал Лежандр. 8 апреля Гаусс нашел полное доказательство гипотезы Эйлера. Впрочем, Гаусс еще не знал о работах своих великих предшественников. Весь нелегкий путь к «золотой теореме» он прошел самостоятельно!
Два великих открытия Гаусс сделал на протяжении всего десяти дней, за месяц до того, как ему исполнилось 19 лет! Одна из самых удивительных сторон «феномена Гаусса» заключается в том, что он в своих первых работах практически не опирался на достижения предшественников, открыв как бы заново за короткий срок то, что было сделано в теории чисел за полтора века трудами крупнейших математиков.
В 1801 году вышли знаменитые «Арифметические исследования» Гаусса. Эта огромная книга (более 500 страниц крупного формата) содержит основные результаты Гаусса. Книга была издана на средства герцога и ему посвящена. В изданном виде книга состояла из семи частей. На восьмую часть денег не хватило. В этой части речь должна была идти об обобщении закона взаимности на степени выше второй, в частности - о биквадратичном законе взаимности. Полное доказательство биквадратичного закона Гаусс нашел лишь 23 октября 1813 года, причем в дневниках он отметил, что это совпало с рождением сына.
За пределами «Арифметических исследований» Гаусс, по существу, теорией чисел больше не занимался. Он лишь продумывал и доделывал то, что было задумано в те годы.
«Арифметические исследования» оказали огромное влияние на дальнейшее развитие теории чисел и алгебры. Законы взаимности до сих пор занимают одно из центральных мест в алгебраической теории чисел В Брауншвейге Гаусс не имел литературы, необходимой для работы над Арифметическими исследованиями». Поэтому он часто ездил в соседний Гельмштадт, где была хорошая библиотека. Здесь в 1798 году Гаусс подготовил диссертацию, посвященную доказательству Основной теоремы алгебры ~ утверждения о том, что всякое алгебраическое уравнение имеет корень, который может быть числом действительным или мнимым, одним словом - комплексным. Гаусс критически разбирает все предшествующие опыты и доказательства и с большой тщательностью проводит идею до Ламбера. Безупречного доказательства все же не получилось, так как не хватало строгой теории непрерывности. В дальнейшем Гаусс придумал еще три доказательства Основной теоремы (последний раз - в 1848 году).
«Математический век» Гаусса - менее десяти лет. При этом большую часть времени заняли работы, оставшиеся неизвестными современникам (эллиптические функции).
Гаусс считал, что может не торопиться с публикацией своих результатов, тридцать лет так и было. Но в 1827 году сразу два молодых математика - Абель и Якоби - опубликовали многое из того, что было им получено.
О работах Гаусса по неевклидовой геометрии узнали лишь при публикации посмертного архива. Так Гаусс обеспечил себе возможность спокойно работать отказом обнародовать свое великое открытие, вызвав несмолкающие по сей день споры о допустимости занятой им позиции.
С наступлением нового века научные интересы Гаусса решительно сместились в сторону от чистой математики. Он много раз эпизодически будет обращаться к ней, и каждый раз получать результаты, достойные гения. В 1812 году он опубликовал работу о гипергеометрической функции. Широко известна заслуга Гаусса в геометрической интерпретации комплексных чисел.
Новым увлечением Гаусса стала астрономия. Одной из причин, по которой он занялся новой наукой, была прозаическая. Гаусс занимал скромное положение приват-доцента в Брауншвейге, получая 6 талеров в месяц.
Пенсия в 400 талеров от герцога-покровителя не настолько улучшила его положение, чтобы он мог содержать семью, а он подумывал о женитьбе. Получить где-нибудь кафедру по математике было не просто, да Гаусс и не очень стремился к активной преподавательской деятельности. Расширяющаяся сеть обсерваторий делала карьеру астронома более доступной, Гаусс начал интересоваться астрономией еще в Геттингене. Кое-какие наблюдения он проводил в Брауншвейге, причем часть герцогской пенсии он израсходовал на покупку секстанта. Он ищет достойную вычислительную задачу.
Ученый вычисляет траекторию предполагаемой новой большой планеты. Немецкий астроном Ольберс, опираясь на вычисления Гаусса, нашел планету (ее назвали Церерой). Это была подлинная сенсация!
25 марта 1802 году Ольберс открывает еще одну планету - Палладу. Гаусс быстро вычисляет ее орбиту, показав, что и она располагается между Марсом и Юпитером. Действенность вычислительных методов Гаусса стала для астрономов несомненной.
К Гауссу приходит признание. Одним из признаков этого было избрание его членом-корреспондентом Петербургской академии наук. Вскоре его пригласили занять место директора Петербургской обсерватории. В то же время Ольберс предпринимает усилия, чтобы сохранить Гаусса для Германии. Еще в 1802 году он предлагает куратору Геттингенского университета пригласить Гаусса на пост директора вновь организованной обсерватории. Ольберс пишет при этом, что Гаусс «к кафедре математики имеет положительное отвращение». Согласие было дано, но переезд состоялся лишь в конце 1807 году. За это время Гаусс женился. «Жизнь представляется мне весной со всегда новыми яркими цветами», - восклицает он. В 1806 году умирает от ран герцог, к которому Гаусс, повидимому, был искренне привязан. Теперь ничто не удерживает его в Брауншвейге.
Жизнь Гаусса в Геттингене складывалась несладко. В 1809 году после рождения сына умерла жена, а затем и сам ребенок. Вдобавок Наполеон обложил Геттинген тяжелой контрибуцией. Сам Гаусс должен был заплатить непосильный налог в 2000 франков. За него попытались внести деньги Ольберс и, прямо в Париже, Лаплас. Оба раза Гаусс гордо отказался.
Однако нашелся еще один благодетель, на этот раз - аноним, и деньги возвращать было некому. Только много позднее узнали, что это был курфюрст Майнцский, друг Гёте. «Смерть мне милее такой жизни», - пишет Гаусс между заметками по теории эллиптических функций. Окружающие не ценили его работ, считали его, по меньшей мере, чудаком. Ольберс успокаивает Гаусса, говоря, что не следует рассчитывать на понимание людей: «их нужно жалеть и им служить».
В 1809 году выходит знаменитая «Теория движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям». Гаусс излагает свои методы вычисления орбит. Чтобы убедиться в силе своего метода, он повторяет вычисление орбиты кометы 1769 года, которую в свое время за три дня напряженного счета вычислил Эйлер. Гауссу на это потребовался час. В книге был изложен метод наименьших квадратов, остающийся по сей день одним из самых распространенных методов обработки результатов наблюдений.
На 1810 год пришлось большое число почестей: Гаусс получил премию Парижской академии наук и золотую медаль Лондонского королевского общества, был избран в несколько академий.
Регулярные занятия астрономией продолжались почти до самой смерти. Знаменитую комету 1812 года (которая «предвещала» пожар Москвы!) всюду наблюдали, пользуясь вычислениями Гаусса. 28 августа 1851 года Гаусс наблюдал солнечное затмение. У Гаусса было много учеников-астрономов: Шумахер, Герлинг, Николаи, Струве. Крупнейшие немецкие геометры Мебиус и Штаудт учились у него не геометрии, а астрономии. Он состоял в активной переписке со многими астрономами регулярно.
К 1820 году центр практических интересов Гаусса переместился в геодезию. Геодезии мы обязаны тем, что на сравнительно короткое время Математика вновь стала одним из главных дел Гаусса. В 1816 году он думает об обобщении основной задачи картографии - задачи об отображении одной поверхности на другую «так, чтобы отображение было подобно отображаемому в мельчайших деталях».
В 1828 году вышел в свет основной геометрический мемуар Гаусса «Общие исследования о кривых поверхностях». Мемуар посвящен внутренней геометрии поверхности, т. е. тому, что связано со структурой самой этой поверхности, а не с ее положением в пространстве.
Оказывается, «не покидая поверхности», можно узнать, кривая она или нет. «Настоящую» кривую поверхность ни при каком изгибании нельзя развернуть на плоскость. Гаусс предложил числовую характеристику меры искривления поверхности.
К концу двадцатых годов Гаусс, перешедший пятидесятилетний рубеж, начинает поиски новых для себя областей научной деятельности. Об этом свидетельствуют две публикации 1829 и 1830 годов. Первая из них несет печать размышлений об общих принципах механики (здесь строится «принцип наименьшего принуждения» Гаусса); другая посвящена изучению капиллярных явлений. Гаусс решает заниматься физикой, но его узкие интересы еще не определились.
В 1831 году он пытается заниматься кристаллографией. Это очень трудный год в жизни Гаусса" умирает его вторая жена, у него начинается тяжелейшая бессонница. В этом же году в Геттинген приезжает приглашенный по инициативе Гаусса 27-летний физик Вильгельм Вебер Гаусс познакомился с ним в 1828 году в доме Гумбольдта Гауссу было 54 года, о его замкнутости ходили легенды, и все же в Вебере он нашел сотоварища по занятиям наукой, какого он никогда не имел прежде.
Интересы Гаусса и Вебера лежали в области электродинамики и земного магнетизма. Их деятельность имела не только теоретические, но и практические результаты. В 1833 году они изобретают электромагнитный телеграф. Первый телеграф связывал магнитную обсерваторию с городом Нейбургом.
Изучение земного магнетизма опиралось как на наблюдения в магнитной обсерватории, созданной в Геттингене, так и на материалы, которые собирались в разных странах «Союзом для наблюдения над земным магнетизмом», созданным Гумбольдтом после возвращения из Южной Америки. В это же время Гаусс создает одну из важнейших глав математической физики - теорию потенциала.
Совместные занятия Гаусса и Вебера были прерваны в 1843 году, когда Вебера вместе с шестью другими профессорами изгнали из Геттингена за подписание письма королю, в котором указывались нарушения последним конституции (Гаусс не подписал письма) Возвратился в Геттинген Вебер лишь в 1849 году, когда Гауссу было уже 72 года.
div align="justify">
Карл Гаусс (1777 – 1855) – великий немецкий математик, механик, физик, геодезист.
Он считается одним из величайших математиков всех времён и прозван «королём математики».
Гаусс открыл множество законов в алгебре и геометрии, дал первые строгие доказательства Основной теоремы алгебры, открыл кольцо целых комплексных чисел, названных гауссовыми, сформулировал и доказал огромное множество теорем.
При этом Гаусс отличался невероятной строгостью по отношению к своим публикациям: он никогда не печатал свои работы, даже безупречные, если считал их незавершёнными.
Это привело к тому, что приоритет в ряде открытий, совершённых им, достался другим учёным, которые сделали их в одно время с ним или даже на десятилетия позже:
Несмотря на это, математические заслуги Гаусса отнюдь не умаляются. Многие его ученики впоследствии также стали выдающимися учёными.
Ребёнок-вундеркинд
Родился Кар Гаусс 30.02.1777 года. Гениальные умственные способности Кар Гаусс показывал с двухлетнего возраста. В три года он умел писать и читать, а считал наравне с отцом и даже исправлял его ошибки.
Существует легенда, что однажды в школе учителю необходимо было надолго отлучиться. Чтобы занять учеников, он дал им задание – вычислить сумму всех чисел от 1 до 100. Пока остальные школьники кропотливо складывали, Гаусс заметил, что числа с противоположных концов складываются в одинаковые суммы, то есть 100 + 1 = 101, 99 + 2 = 101 и так далее.
Он моментально нашёл нужную сумму, умножив 101 на 50, получилось 5050. Неизвестно, насколько правдива эта история, однако Гаусс до старости большинство вычислений производил в уме.
Знаток языков
Помимо математики, Гаусса интересовала филология. Он колебался между этими двумя дисциплинами, но поступил в итоге на математический факультет. Гаусс знал множество языков, в том числе и русский, который он выучил из-за любви к русской литературе и для того, чтобы прочитать в оригинале работы Лобачевского. Нравилась ему латынь, поэтому значительную часть своих трудов он написал на этом языке.
Нормальный закон распределения
Нормальный закон распределения – часто встречающееся в природе явление, связанное с распределением вероятностей. График этого явления часто называют гауссианой, несмотря на то, что Гаусс не был первооткрывателем этого закона. Он только его изучил, но изучил весьма тщательно.
Гаусс и астрономия
Отдельные труды Гаусса посвящены астрономии. В них он занимался небесной механикой, исследовал орбиты малых планет и открыл способ определять элементы орбиты по трём известным величинам.
Пушка Гаусса
Именем Гаусса названа также электромагнитная пушка – устройство, выстреливающее металлическим снарядом за счёт электромагнитной энергии. Гаусс – первооткрыватель электромагнетизма, с чем и связано название пушки.
Карл Фридрих Гаусс родился в 1777 г. в небольшом немецком городе Брауншвейге. Отец его был водопроводчиком и в своем горо-де был известен как хороший вычислитель, так что его часто приглашали для ведения расчетов.
Маленький Карл Фридрих очень рано обна-ружил поразительные способности к счету. Впоследствии Гаусс говорил друзьям, что он научился раньше считать, чем говорить. Рас-сказывают, что, когда ребенку было 3 года, про-изошел следующий удивительный случай: как-то в присутствии сына отец производил расчет, сколько следует заплатить за работу каменщикам, учитывая, что некоторые из них работали и в обеденные часы. Окончив счет, он собирался уже приступить к выплате денег, как вдруг маленький Карл сказал, что расчет неверен и должно быть столько-то. Оказывается, мальчик в уме повторял все выкладки отца. Велико было удивление последнего, когда, проверив снова счет, он убедился, что сын прав!
Семи лет Гаусс поступил в народную школу. Первые два года, пока учили чтению и пись-му, мальчик не выделялся среди других. Но на третьем году началась арифметика,— тут-то и проявились его замечательные способности. Учитель как-то задал мальчикам сосчитать сумму чисел: 1+2+3+ ...+40. В то время как другие ученики принялись подряд складывать числа, Гаусс почти сразу подал учителю свою грифельную доску с правильным ответом. Он заметил, что числа, стоящие на одинаковом расстоянии от начала и конца, дают при сло-жении одинаковое число:
1+40 = 2+39=3+38= ... =20+21=41.
Но всего таких пар чисел будет 20, следователь-но, искомая сумма равна: 41.20 = 820.
В это время на мальчика обратил внима-ние молодой помощник учителя Бартельс. Он начал вместе с Гауссом читать книги по ма-тематике. Он же сумел заинтересовать герцога Брауншвейского, рассказав ему о математической одаренности мальчика, и добился, чтобы Гауссу была оказана материальная помощь и он смог продолжать учение.
В гимназии Гаусс очень быстро овладел древ-ними языками и изучил несколько европейских. Окончив ее, юноша поступил в 1795 г. в Гёттингенский университет. Первое время он по-сещал лекции и по математике, и по филоло-гии, не зная, что ему избрать. В это время у Гаусса были уже собственные математические результаты и он самостоятельно изучал великие творения И. Ньютона, Ж. Лагранжа и Л. Эйле-ра. Однако посвятить себя математике Гаусс решил только после своего знаменитого открытия о возможности построения правильного 17-угольника с помощью циркуля и линейки. Откры-тие 19-летнего Гаусса произвело сенсацию: после Евклида, указавшего способы постро-ения правильных многоугольников с чис-лом сторон 3, 4, 5, 3.2 k , 5.2 k , 4.2 k , 15, ни одному математику не удавалось продол-жить этот ряд, хотя эта проблема занимала очень многих. Гаусс дал полное решение проблемы, доказав, что если n — про-стое число вида 2 2 k +1, то соответствующий n -угольник может быть построен циркулем и линейкой. В частности, полагая k =0, 1, 2, 3, получим, что правильные 3-, 5-, 17- и 257- уголь-ники можно построить циркулем и линейкой (а 7-угольник — нельзя). Эта работа была опубликована в 1801 г.
Как ни замечателен сам факт, открытый Гаус-сом, еще большее значение имел метод, который он применил. Гаусс связал проблему построе-ния правильных многоугольников с вопросом: когда корень уравнения х n -1=0 выражается с помощью одних только квадратных радика-лов? Гаусс доказал, что это уравнение всегда решается в радикалах, а при n простом и имею-щем вид 2 2 k +1 корень его выражается с по-мощью одних только квадратных радикалов. Он развил при этом методы, которые позднее лег-ли в основу теории Галуа.
С этого момента начинается героический пе-риод творчества Гаусса. На следующие 5 лет падает большая часть его величайших открытий в теории чисел, алгебре и анализе. Вспоминая об этом времени, Гаусс говорил, что новые идеи в таком обилии появлялись у него в голо-ве, что он едва справлялся с ними в сознании, а коротко записывать успевал только часть из них. Это же видно и из дневника Гаусса, в котором он отмечал свои открытия. Так, построе-ние правильного 17-угольника там датировано 30 марта 1796 г., а 8 апреля того же года — пер-вое доказательство квадратичного закона вза-имности, одного из основных законов теории чисел. Этот закон был открыт Л. Эйлером, но сам Эйлер не смог доказать его. Гаусс дал это-му закону 8 различных доказательств!
В 1797 г. Гаусс предложил новое доказа-тельство основной теоремы алгебры, утверж-дающей, что всякое алгебраическое уравнение имеет корень (действительный или комплекс-ный), опубликовав эту работу в 1799 г. За нее Гауссу была присуждена степень доктора.
Все свои работы по теории чисел Гаусс соб-рал в замечательном сочинении, которое поло-жило начало новой эпохе в истории математи-ки, — «Арифметические исследования» (1801).
Эта книга сразу поставила молодого Гаусса в ряд таких математиков, как П. Ферма и Л. Эйлер. В ней впервые строилась теория сравнений и доказывались важные теоремы тео-рии групп.
Но Гаусс был не только великим математи-ком, пролагавшим своими исследованиями но-вые пути развития этой науки; он был и заме-чательным естествоиспытателем. Так, в 1832— 1833 гг. он построил в Гёттингене электромагнитный телеграф. Он основал также первую в мире магнитную обсерваторию.
Очень рано внимание Гаусса привлекли про-блемы астрономии. Ему удалось определить ор-биту малой планеты Цереры. Решение этой чрез-вычайно сложной математической задачи при-несло 24-летнему Гауссу широкую известность. В 1807 г. он был приглашен на пост директора Гёттингенской обсерватории, который не по-кидал до конца жизни. Одновременно он начал преподавать астрономию в Гёттингенском уни-верситете. Результаты своих исследований по астрономии Гаусс объединил в фундаменталь-ном труде «Теория движения небесных тел».
(30 апреля 1777, Брауншвейг, ныне Германия — 23 февраля 1855, Геттинген, Ганноверское королевство, ныне Германия), немецкий математик, астроном, геодезист и физик, иностранный член-корреспондент (1802) и иностранный почетный член (1824) Петербургской АН.
Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры (доказательство основной теоремы алгебры), теории чисел (квадратичные вычеты), дифференциальной геометрии (внутренняя геометрия поверхностей), математической физики (принцип Гаусса), теории электричества и магнетизма, геодезии (разработка метода наименьших квадратов) и многих разделов астрономии.
Еще при жизни Гаусс был удостоен почетного титула «принц математиков». Он был единственным сыном бедных родителей. Школьные учителя были так поражены его математическими и лингвистическими способностями, что обратились к герцогу Брауншвейгскому с просьбой о поддержке, и герцог дал деньги на продолжение обучения в школе и в Геттингенском университете (в 1795-1798). Степень доктора Гаусс получил в 1799 в университете Хельмштедта.
Первое же обширное сочинение Гаусса «Арифметические исследования» (опубликовано в 1801) на многие годы определило последующее развитие двух важных разделов математики - теории чисел и высшей алгебры. Из множества важных и тонких результатов, приведенных в «Арифметических исследованиях», следует отметить подробную теорию квадратичных форм и первое доказательство квадратичного закона взаимности. В конце сочинения Гаусс приводит полную теорию уравнений деления круга и, указывая их связь с задачей построения правильных многоугольников, решает стоявшую с античных времен проблему о возможности построения циркулем и линейкой правильного многоугольника с заданным числом сторон. Гаусс указал все числа, при которых построение правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки возможно. Это пять так называемых гауссовых простых чисел: 3, 5, 17, 257 и 65337, а также умноженные на любую степень двойки произведения различных (не повторяющихся) гауссовых чисел. Например, построить с помощью циркуля и линейки правильный (3х5х17)-угольник можно, а правильный 7-угольник нельзя, так как семерка не гауссово простое число.
Карл Гаусс предложил также явный способ построения с помощью циркуля и линейки правильного 17-угольника. Это событие Гаусс посчитал столь значительным, что отметил его в «Дневнике» (запись от 30 марта 1796) и завещал высечь правильный 17-угольник на своем надгробии (воля Гаусса была исполнена).
С именем Гаусса также связана основная теорема алгебры, согласно которой число корней многочлена (действительных и комплексных) равно степени многочлена (при подсчете числа корней кратный корень учитывается столько раз, какова его степень). Первое доказательство основной теоремы алгебры Гаусс дал в 1799, а позднее предложил еще несколько доказательств.
Занимая с 1807 кафедру математики и астрономии Геттингенского университета и возглавляя астрономическую обсерваторию того же университета, Карл Гаусс на протяжении более двух десятилетий занимается изучением орбит малых планет и их возмущений. Мировую известность обрел разработанный Гауссом метод определения эллиптической орбиты по трем наблюдениям. Применение этого метода к малой планете Церера позволило вновь найти ее на небе после того, как она была утеряна вскоре после ее открытия астрономом Дж. Пиацци (1801). Не меньший успех сопутствовал применению метода Гаусса к другой малой планете, Палладе (1802).
В 1809 выходит фундаментальный труд Гаусса «Теория движения небесных тел», в котором изложены методы вычисления планетных орбит, используемые (с незначительными усовершенствованиями) и поныне.
В 1812 Карл Гаусс познакомил математический мир со своей гипергеометрической функцией, частным случаем которой являются многие из так называемых специальных функций математической физики. В той же работе он рассматривает и вопросы сходимости бесконечных рядов, важные для астрономических вычислений.
В 1818 Карл Гаусс одним из первых начинает размышлять над созданием неевклидовой геометрии, но от публикации полученных результатов воздерживается, опасаясь, по собственному признанию, «криков беотийцев» (т.е. возражений и насмешек невежд).
Десятилетие 1820-1830 застает Гаусса за проведением геодезической съемки Ганноверского королевства и составлением его подробной карты. Гаусс не только проделывает огромную организационную работу и руководит измерением длины дуги меридиана от Геттингена до Альтоны, но и создает основы «высшей геодезии», занимающейся описанием действительной формы земной поверхности. Обобщающий труд «Исследования о предметах высшей геодезии» Гаусс создает в 1842-1847. В основе этого фундаментального труда лежат также принадлежащие Гауссу идеи так называемой внутренней геометрии поверхности, изложенной им в сочинении «Общие исследования о кривых поверхностях» (1827). Локальные (т. е. характеризующие малую окрестность точки) свойства поверхности, по мысли Гаусса, естественнее связывать не с «посторонними», введенными извне, а с внутренними криволинейными координатами и выражать через дифференциальную форму от внутренних координат. Если поверхность изгибать не растягивая, то ее внутренние свойства остаются неизменными. Впоследствии по образу и подобию внутренней геометрии поверхностей Гаусса была создана многомерная риманова геометрия.
Непреходящее значение для всех наук, имеющих дело с обработкой наблюдений, имеют разработанные Гауссом методы получения наиболее вероятных значений измеряемых величин. Особенно широкую известность получил созданный Гауссом в 1821-23 гг. метод наименьших квадратов. Гауссом заложены также и основы теории ошибок.
В 1830-1840 гг. Гаусс много внимания уделяет проблемам физики. В 1832 он создает так называемую абсолютную систему единиц, приняв за основные три единицы; единицу времени 1 с, единицу длины 1 мм и единицу массы 1 м. В 1833 в тесном сотрудничестве с Вильгельмом Вебером Гаусс строит первый в Германии электромагнитный телеграф. В 1839 выходит сочинение Гаусса «Общая теория сил притяжения и отталкивания, действующих обратно пропорционально квадрату расстояния», в которой излагает основные положения теории потенциала и доказывает знаменитую теорему Гаусса-Остроградского. Работа «Диоптрические исследования» (1840) Гаусса посвящена теории построения изображений в сложных оптических системах.
